Рассмотрим некоторые элементарные операции над идеалами кольца . Пусть
и
два произвольных идеала кольца
.
Теорема. Пересечение идеалов
и
кольца
является идеалом этого кольца.
Доказательство. Пересечение идеалов является подгруппой аддитивной группы кольца
. Кроме того, для любых элементов
и
произведение
и
содержится в идеалах
и
и, следовательно, содержится и в их пересечении
. Следовательно, пересечение идеалов
является идеалом кольца
.
Замечание. 1. Можно показать, что операция пересечения идеалов ассоциативна и коммутативна.
2. Рассмотренная теорема легко распространяется на любое конечное или счетное число идеалов.
Пусть и
– некоторые не пустые подмножества кольца
.
Определение. Множество всех элементов вида , где
называется суммой подмножеств
и
и обозначается символом
:
. (3.66)
Если подмножество состоит только из одного элемента
, то сумма
обозначается
.
Определение. Произведением подмножеств
и
называется множество всех элементов вида:
, (3.67)
где – некоторое натуральное число,
.
Если подмножество состоит только из одного элемента
, то произведение
обозначают символом
. Это произведение состоит из всех элементов вида
.
Замечание. Определенная таким образом операция умножения подмножеств кольца ассоциативна. Если кольцо
коммутативное, то операция умножения подмножеств также будет коммутативной.
Пусть – подмножества кольца
, тогда их произведение
, (3.68)
состоит из всех сумм произведений вида , где
.
Применим введение операции сложения и умножения подмножеств кольца к его идеалам
.
Теорема. Сумма идеалов
и
кольца
является идеалом этого кольца.
Доказательство. Пусть , тогда сумма
любых двух элементов
и
множества
принадлежит к
, поскольку
и элемент
, противоположный произвольного выбранному элементу
, также принадлежит к
, так как
. Следовательно,
является подгруппой аддитивной группы кольца
. Кроме того, для любых элементов
и любого
.
Теорема. Произведение идеалов
и
кольца
также является идеалом кольца
.
Доказательство. Действительно, сумма любых двух элементов
множества
является, очевидно, элементом этого же множества, а элемент
– противоположный произвольно выбранному элементу
, принадлежит к
. Кроме того для любых
и
.
Таким образом, в множестве идеалов кольца выполнимы операции сложения и умножения. Операция сложения идеалов – ассоциативна и коммутативна, а операция умножения – ассоциативна. Если кольцо
– коммутативное, то операция умножения идеалов также коммутативна.
Теорема. Операции сложения и умножения идеалов кольца
связаны дистрибутивными законами
.
Справедливость этого утверждения очевидна.
Теорема.Ядро гомоморфизма колец ,является идеалом в кольце
кольца
.
Доказательство. 1. Пусть G группа в K , а группа в
. Тогда используя теорему о ядре гомоморфизма групп получаем, что если
, то
– подгруппа в
и, следовательно,
т.е. условие (3.39) теоремы выполнено.
Пусть для выполнения условия (3.40) необходимо доказать, что
. Покажем, что
. Действительно, из свойств гомоморфизма колец имеем:
,
.