Идеалы колец

Среди подколец особую роль играют подкольца, называемые идеалами: их роль аналогична роли нормальных делителей в теории групп.

Определение. Непустое подмножество кольца называется идеалом кольца , если выполняются два условия:

, (7)

. (8)

Эти условия означают, что идеал - это аддитивная подгруппа в кольце K, а операция умножения в кольце коммутативна.

Пример. Рассмотрим кольцо целых чисел

и кольцо целых чисел, делящихся на без остатка, .

Ясно, что .

Покажем, что – идеал.

Действительно,

.

Проверим выполнение условия (7). Пусть

,

где .

Проверим выполнение условия (8). Пусть

, где .

Обратно, .

Следовательно, – идеал кольца .

Каждое коммутативное кольцо , очевидно, является своим идеалом. Этот идеал называют единичным .

В каждом кольце нулевое подкольцо является идеалом, его называют нулевым идеалом и обозначают символом .

Единичный идеал кольца содержит все элементы кольца, т.е. совпадает с самим кольцом и, следовательно, содержит любой идеал этого кольца, а нулевой идеал содержится в каждом идеале кольца .

Следовательно, в смысле отношения включения, единичный идеал – самый большой, а нулевой – самый меньший среди всех идеалов кольца.

Рассмотрим понятие идеала кольца более детально.

Пусть – некоторое кольцо, и – любой элемент этого кольца.

Определение. Множество всех элементов вида:

называется левым идеалом; а множество

называется правым идеалом, а множество

называется двусторонним идеалом кольца .

Покажем, что множество является левым идеалом кольца . Сумма любых двух элементов и множества принадлежит этому самому множеству:

т.к. .

Для любого элемента противоположный элемент :

, т.к. .

Поэтому множество является подгруппой аддитивной группы кольца .

Для любых элементов и произведение .

Следовательно, – левый идеал кольца .

Аналогично доказывается, что – правый, а – двусторонний идеал кольца . Если – коммутативное кольцо, то .

Замечание. Если кольцо не содержит единицы, то каждый из идеалов , , может не содержать элемента .

Если задано некоторое кольцо , то естественно, возникает вопрос: как построить или получить идеал этого кольца ?

Вначале рассмотрим построение идеала для некоммутативных колец.

Пусть – некоторое некоммутативное кольцо и – любой фиксированный элемент этого кольца.

Теорема. Множество элементов вида

где – любой элемент кольца , а – любое целое число, является идеалом кольца .

Этот идеал называется главным идеалом кольца, порожденным элементом , и обозначается символом .

Среди идеалов, которые содержат элемент , главный идеал является наименьшим (в смысле отношения включения).

Доказательство. Действительно, каждый идеал, который содержит элемент , содержит все кратные и все суммы , а следовательно, и все суммы , т.е. содержит идеал .

Теорема. (о идеале коммутативного кольца) В коммутативном кольце K множество

является идеалом в K. Этот идеал называется главным идеалом, порожденным элементом и обозначается .

Доказательство. В коммутативном кольце

.

Докажем первое свойство идеала, т.е. если

,

в данном случае роль играет , т.е. .

Пусть

,

т.к. .

Докажем второе свойство идеала

,

где, как и ранее, .

Пусть

,

с другой стороны .

Определение. Кольцо , в котором все идеалы главные, называется кольцом главных идеалов.

Если в кольце есть единица , то .

Действительно, из определения идеала следует, что .

С другой стороны,

,

поэтому .

Следовательно, .

Например, главный идеал кольца целых чисел состоит из всех целых чисел, кратных числу :

Замечание. Нулевой идеал кольца является главным идеалом . Если в кольце есть единица , то единичный идеал кольца также является идеалом .

Аналогично тому, как мы определили понятие главного идеала коммутативного кольца , можно определить понятие идеала, порожденного несколькими элементами .

Пусть – некоторое коммутативное кольцо и пусть .

Множество элементов вида:

,

где – любой элемент из кольца , – любое целое число, является идеалом кольца .

Множество элементов называется базисом идеала кольца .

Замечание. Для идеала , кроме базиса могут существовать и другие базисы, причем некоторые из них могут состоять из меньшего, чем , числа элементов.