Гомоморфизмы и идеалы колец

1 2 3 4 5

ЛЕКЦИЯ 16

Пусть – кольцо целых чисел, а – кольцо классов вычетов по модулю . Рассмотрим отображение

, (1)

определяемое как

, (2)

где , – класс вычетов по , в который попадает число .

Таких классов ровно и отображение – сюрьективно.

Пусть , где , тогда в силу определенных в кольце операций сложения и умножения имеем:

, (3)

, (4)

что позволяет говорить о гомоморфизме колец и .

Обобщим этот факт в виде следующего определения.

Определение. Пусть и два кольца. Отображение называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операции

, (5)

, (6)

где .

Чтобы указать, что

– гомоморфное отображение кольца на кольцо пишут или Hom: .

Пример. Пусть – кольцо целых чисел, – кольцо классов вычетов по модулю 2.

Кольцо – содержит два класса:

класс четных чисел –

класс нечетных чисел .

Отображениe

, ,

которое каждому четному числу ставит в соответствие класс, а каждому нечетному – класс, является гомоморфизмом.

Рассмотрим основные свойства гомоморфных отображений колец, которые сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема. Если гомоморфизм кольца в кольцо , то:

1.(нуль кольца K отображается в нуль кольца );

2.;

3. есть подкольцо кольца :

4. Если для операции умножения в , то , а если для , то .

Доказательство.

1. Если .

Тогда

где .

Отсюда следует, что – есть нулевой элемент кольца .

2. Докажем, что для : .

Действительно, .

С другой стороны, .

3. Докажем, что – подкольцо кольца .

Утверждение будет доказано, если мы покажем, что:

а.– группа по сложению,

б.– полугруппа по умножению.

А) Пусть

т.е. - два произвольных элемента , тогда

следовательно – подгруппа в.

Б.) Покажем, что если и , то и их произведение .

Действительно, если и , то

, где .

Тогда .

4. Докажем, что

Действительно, если и

С другой стороны, т.к. – гомоморфизм, то

Замечание. Если – гомоморфизм колец, то для любого фиксированного

Действительно, пусть , тогда

Вместе с тем, выражение не следует рассматривать как настоящее произведение двух элементов кольца, потому что в общем случае не является элементом кольца, а представляет собой нечто внешнее – целое число.

Однако, если кольцо обладает единицей 1, то можно рассматривать как настоящее произведение, а именно

Аналогично морфизмам групп, рассматриваются морфизмы колец, при этом гомоморфизм называется:

– мономорфизмом, если отображение – инъективно:

причем , т.е. образы различных элементов различны.

– эпиморфизмом, если – сюрьективно:

каждый элемент имеет прообраз т.е.

;

– изоморфизмом, если – биективно.

Факт изоморфизма колец кратко записывается в виде .

Пример. Пусть – кольцо целых чисел, а – кольцо классов вычетов по модулю .

Рассмотрим отображение

такое, что

1. Отображение является гомоморфизмом, т.к. сохраняет групповые операции:

Для классов вычетов эти операции имеют вид:

2. Отображение является эпиморфизмом,

т.е. – сюрьективно для любого имеется прообраз , такой, что

т.е. при делении на число дает положительный остаток равный ;

– не инъективно, т.к. если, как и ранее , то имеют один и тот же образ .

Ядро гомоморфизма колец

Определение. Ядром гомоморфизма колец называется множество

На рисунке 1 заштрихованной областью изображено ядро гомоморфизма колец и .

Рис. 1 – Ядро гомоморфизма колец .

Ясно, что – подкольцо кольца , но это особое подкольцо.

Напомним, что если K – некоторое кольцо, то для того, чтобы непустое подмножество было кольцом (подкольцом K), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: