Метод центроид (Зубчатые передачи)

Метод планов положений, скоростей и ускорений (графоаналитический метод)

Задача о вторых передаточных функциях механизма.

Задача о положениях звеньев механизма

Проецируем векторный контур на оси координат и получаем координаты точки С механизма:

из решения этой системы уравнений определяем неизвестные величины и , которые определяют положение звеньев и точек механизма в зависимости от обобщенной координаты.

Учитывая, что , а из (2) найдем , т.к. угол может лежать только в I и IV четвертях, то из последнего выражения можно найти с учетом знака, если , если :

Учитывая основное тригонометрическое тождество, найдем ,

из (1) с учетом :

Проецируем векторный контур на оси координат и получаем координаты точки механизма:

С учетом ,

Таким образом, мы нашли функции всех положений (3), (5), (8) и (9).

1. 2. Задача о первых кинематических передаточных функциях механизма

Продифференцируем уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате и получим

Из этой системы уравнений определяем первые передаточные функции .

Продифференцируем уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате и получим

Из этой системы уравнений определяем первые передаточные функции .

Откуда

Вторично продифференцируем уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате и получим

Из этой системы уравнений определяем вторые передаточные функции

Вторично продифференцировав уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате, получим .

Таким образом, очевидно, что аналитический метод сводится только к умению грамотно дифференцировать, а потому чрезвычайно удобен при применении ПЭВМ. Полученные формулы позволяют создать цикл с переменной обобщенной координатой, и как следствие получить значения всех передаточных функций в виде таблицы значений или кинематических диаграмм.

При использовании этого метода необходимо иметь схему механизма, а также уметь грамотно строить планы скоростей и ускорений.

Определим передаточные функции первого порядка также для кривошипно-ползунного механизма.

Планом механизма называется изображение кинематической схемы механизма в выбранном масштабе соответствующее определенному положению ведущего звена.

Масштабом называется величина равная отношению длины отрезка в на чертеже к величине физической в единицах измерения СИ.

План скоростей и план ускорений – это графическое изображение векторных уравнений, связывающих скорости и ускорения всех точек звеньев механизма.

Метод подобия: точки, принадлежащие одному звену механизма, и концы векторов скоростей этих точек на плане скоростей образуют подобные фигуры (прямые, треугольники и пр.), при этом вектора скоростей этих точек начинаются в полюсе и направление обхода точек должно совпадать с направлением обхода для соответствующего звена механизма. Метод подобия применим и для плана ускорения.

Пример. Заданы размеры механизма , ; положение механизма, определяемое ; кинематические параметры , .

Строится план механизма в масштабе .

Строится план скоростей в масштабе на основании векторных уравнений, связывающих скорости всех точек звеньев механизма.

Звено 1 совершает вращательное движение, звено 2 – плоскопараллельное, звено 3 – поступательное.

Используя метод подобия, определяется положение точки :

Все вектора , , абсолютных скоростей , , выходят из полюса .

Аналог скорости точки :

Передаточное отношение для 2 звена: .

Это графическое равенство можно поострить без выбора масштаба скоростей (если не стоит задача определения передаточных функций ускорений), так как передаточные функции определяются только отношением отрезков и не зависят от угловой скорости входного звена.

Центроидой (полоидой) называется геометрическое место центров (полюсов) относительного вращения в системах координат связанных со звеньями механизма. В зубчатом механизме при передаче движения центроиды колес перекатываются друг по другу без скольжения. На основании этого выводится основная теорема зацепления Виллиса, с которой мы познакомимся позднее.