Принципы рекурсивной фильтрации

Конструкция РЦФ отображается в z-образе передаточной функции фильтра в виде отношения двух многочленов:

H(z) = H₀+H₁z+H₂z²+...= B(z)/[1+A(z)], (6.1.1)

где: B(z) = B₀+B₁z+B₂z²+... +B_Nz^N, A(z) = A₁z+A₂z²+... +A_Mz^M.

Естественно, что переход на РЦФ имеет смысл только в том случае, если степень многочленов A(z) и B(z) во много раз меньше степени многочлена H(z) прямого z-преобразования импульсной реакции фильтра. При z-образе входных данных Х(z), на выходе РЦФ имеем:

Y(z) = H(z)Х(z) = X(z)B(z)/[1+A(z)],

Y(z)[1+A(z)] = Y(z)+Y(z)A(z) = X(z)B(z),

Y(z) = X(z)B(z)-Y(z)A(z). (6.1.2)

При обратном z-преобразовании выражения (6.1.2) получаем уравнение рекурсивной цифровой фильтрации:

y_k =b_n x_k-n –a_m y_k-m. (6.1.3)

Рис. 6.1.1. Схема РЦФ.

Рекурсивная фильтрация требует задания начальных условий как по x_k, так и по y_k при k<0. Схема рекурсивной фильтрации приведена на рис. 6.1.1.

Как следует из выражения (6.1.3), при вычислении значения у_k текущей точки используются предыдущие вычисленные значения у_k-m, (m>0), что и определяет принцип рекурсии - фильтрации с обратной связью. Другой особенностью РЦФ является их односторонность и физическая реализуемость в реальном масштабе времени. При машинной обработке данных многочлен B(z) передаточной функции фильтра может реализоваться и в двухстороннем варианте.

Одно из важнейших свойств рекурсивных фильтров - возможность получения узких переходных зон при конструировании частотных фильтров, так как функция H(z) фильтра может резко изменяться при приближении к нулю многочлена в знаменателе (6.1.1).

Рекурсивная фильтрация требует более высокой точности вычислений по сравнению с нерекурсивной, т.к. использование предыдущих выходных отсчетов для текущих вычислений может приводить к накапливанию ошибок.

Практическая реализация РЦФ осуществляется в двух вариантах.

Рис. 6.1.2. Каскадная форма. Рис. 6.1.3. Параллельная форма.

Каскадная форма. Находятся корни многочленов А(z),B(z) и производится разложение H(z):

H(z) = , (6.1.4)

где G - масштабный множитель. Это позволяет применять каскадное построение фильтров, показанное на рис. 6.1.2, в котором:

H(z) = G H₁(z) H₂(z)..... H_N(z),

H_n(z) = B_n(z)/A_n(z).

Функции А_n(z) и B_n(z) обычно представляются в виде биквадратных блоков (фильтров второго порядка):

B_n(z) = b_n.0 + b_n.1 z + b_n.2 z²,

A_n(z) = 1 + a_n.1 z + a_n.2 z².

Параллельная форма. Функция H(z) разлагается на элементарные дроби:

H(z) = H_o(z)B_n(z) / [1+A_n(z)],

что дает параллельную форму фильтра, показанную на рис. 6.1.3. Параллельная конструкция фильтра применяется много реже каскадной, хотя это может объясняться и тем, что в аналоговых фильтрах, исторически предшествовавших цифровым фильтрам, теоретическая база анализа и синтеза каскадных рекурсивных фильтров получила весьма детальное развитие.

Устранение сдвига фазы. Рекурсивные фильтры являются фазо- сдвигающими фильтрами. Если требуется обеспечить нулевой фазовый сдвиг, то операция фильтрации производится дважды, в прямом и обратном направлении числовой последовательности массива данных, при этом амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтрации будет равна |H(w)|² фильтра, что необходимо учитывать при конструировании фильтра.