Рекурсивные цифровые фильтры, как и нерекурсивные, не могут обеспечить реализацию идеальной частотной характеристики со скачкообразными переходами от полосы пропускания к полосе подавления. Поэтому на этапе решения аппроксимационной задачи необходимо определить передаточную функцию H(w) фильтра, которая обеспечивает воспроизведение необходимой амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) с требуемой точностью. Требования к фазочастотной характеристике (ФЧХ) частотных фильтров, как правило, не задаются, т. к. это приводит к резкому усложнению решения задачи. Специальные требования к форме ФЧХ обычно реализуются после расчета фильтров с заданной АЧХ путем контроля полученной при этом ФЧХ и разработкой, при необходимости, дополнительных корректоров ФЧХ.
Синтез рекурсивных фильтров, как и НЦФ, выполняется на базе фильтров низких частот (ФНЧ). Другие типы фильтров (ФВЧ - высоких частот, ПФ - полосовые, РФ - режекторные) образуются на основе ФНЧ путем частотного преобразования.
|
|
Рис. 6.4.1. Частотная характеристика ФНЧ.
Аппроксимационная задача низкочастотного фильтра.В качестве основных исходных данных для решения аппроксимационных задач принимаются граничные частоты wp - полосы пропускания, и ws – начала полосы подавления сигнала. Как правило, задаются также допуски Аp - на максимальное значение неравномерности в полосе пропускания, и Аs – на максимальное отклонение АЧХ от нуля в полосе подавления (уровень шума фильтра). Разность между граничными частотами wp и ws будет определять ширину переходной зоны. Типичный пример задания формы АЧХ приведен на рис. 6.4.1. В допустимой зоне передаточной функции условно показана возможная форма АЧХ, удовлетворяющая заданным условиям.
Кроме основных частотных параметров могут задаваться и требования к форме АЧХ (монотонность в полосе пропускания или подавления, характер пульсаций и т.п.), которые определяют выбор функции аппроксимации.
Передаточная функция. При решении аппроксимационной задачи амплитудно-частотная характеристика фильтра обычно задается в действительной аналитической форме - виде квадрата передаточной функции, нормированной по амплитуде и граничной частоте передачи:
|H(W)|2 = H(W)·H*(W) = 1/(1+An(W)), (6.4.1)
где Аn(W) - многочлен n-го порядка, W - нормированная частота (например, W = w/wp). Вид многочлена Аn(W) выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие: Аn(W) << 1 при 0<W<1, что обеспечивает |H(W)|2 ® 1, и An(W) >> 1 при W>1, соответственно |H(W)|2 ® 0. Крутизна переходных зон фильтра устанавливается величиной порядка фильтра (чем больше значение n, тем больше крутизна переходных зон).
|
|
По знаменателю правой части выражения (6.4.1) достаточно просто могут быть определены комплексные полюса передаточной функции в p-области преобразования Лапласа и соответствующим комбинированием и объединением комплексно-сопряженных полюсов получены передаточные функции в виде биквадратных блоков при четном порядке, и с одним линейным блоком при нечетном порядке:
H(p) = GВn(p), n-четное, (6.4.2)
H(p) = Вn(р), n-нечетное, (6.4.3)
где Вn(р) выражается в форме:
Вn(p) = 1/[(p-pn)(p-pn*)] = 1/(p2-2 anp+bn). (6.4.4)
Рис. 6.4.2. АЧХ фильтра Баттеруорта.
Виды фильтров. В настоящее время существует достаточно большое количество видов рекурсивных частотных фильтров и их различных модификаций. Наиболее известный из них - фильтр Баттеруорта (рис.6.4.2). Он имеет монотонную гладкую АЧХ во всем частотном диапазоне. При том же порядке многочленов фильтров (равном количестве полюсов) большую крутизну обеспечивают фильтры Чебышева – прямой и инверсный, однако при этом в полосе пропускания (для инверсного – в полосе подавления) у фильтров Чебышева появляются равноволновые пульсации (с одинаковой амплитудой пульсаций). Еще более крутые срезы характеристик (при равноволновых пульсациях как в полосах пропускания, так и в полосе подавления) реализуются с использованием эллиптических функций.