Этапы проектирования фильтров

Рассмотрим этапы проектирования фильтра. Алгоритм приведен на рис. 8.6.

Осуществление реальной схемы, характеристики которой соответствуют характеристикам фильтра, выполняется с помощью следующей двухэтапной процедуры:

Этапы 1-2. Стадия проектирования: найти устойчивую и физически реализуемую передаточную функцию, частотные характеристики которой соответствуют заданным характеристикам фильтра.

Этапы 3-7. Стадия реализации: реализовать практической схемой передаточную функцию, найденную на этапе 1.

Описание фильтра полностью завершено, когда точно определены его АЧХ И ФЧХ. Синтезировать четырехполюсник – значит, построить схему и рассчитать его элементы по заданным параметрам. Характеристика может быть задана в виде графика или таблицы, поэтому необходимо получить её аналитическое выражение, т. е. решить задачу аппроксимации.

Рис. 8.6 – Алгоритм проектирования фильтров

Допустимые пределы изменения характеристик фильтра. В идеальном случае приёмник должен принимать и подвергать обработке любой сигнал, попадающий в канал, и полностью исключать из обработки сигналы других частот. Следовательно, требования к квадрату модуля коэффициента передачи приёмника имеют вид:

для , (8.2)

для всех остальных частот,

где – канал, в пределах которого должен приниматься сигнал. Однако ни одна линейная схема с постоянными параметрами не способна точно воспроизвести такую передаточную функцию. Это объясняется двумя причинами: во-первых, любой линейный фильтр с постоянными параметрами, который содержит R, L, C и другие активные элементы, описывается функцией передачи, являющейся рациональной функцией частоты, и, во-вторых, значение рациональной функции не может иметь постоянную величину в пределах какой- либо полосы частот, если оно не характеризуется постоянной величиной повсюду. Поскольку ни одна передаточная функция физически реализуемой схемы не может удовлетворить требования (8.2), остается лишь одна возможность – искать аппроксимацию в виде физически реализуемой функции. Но в практических применениях к фильтрам не предъявляются такие строгие требования. Всегда возможны отклонения от идеальных характеристик, хотя эти отклонения должны быть достаточно малыми. Так, например, для радио- и телевизионного приёмника приём можно считать удовлетворительным, если модуль коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания отклоняется от заданной величины А не более чем на ± 5% и составляет менее 1% от А вне полосы пропускания; при этом переходная полоса должна составлять не более чем на 1/10 ширины полосы пропускания. Таким образом,

для , (8.3)

для (8.4)

для (8.5)

Рис. 8.7 – Предельные допустимые отклонения характеристик фильтра

Кроме вопроса аппроксимации существует ещё проблема избирательности проектируемой цепи. Избирательность фильтра (степень разграничения полос пропускания и задерживания) определяется крутизной характеристики рабочего ослабления в переходной зоне. Чем больше крутизна и сильнее ослабление в полосе пропускания, тем лучше избирательность фильтра и меньше уровень помех от подавляемых колебаний.

Помимо требований к частотной зависимости рабочего ослабления (а значит, и к АЧХ) могут задаваться также требования к фазочастотной характеристике фильтра (допустимые отклонения от линейности и др.) и величине нелинейных искажений. Также могут предъявляться требования и к другим характеристикам и параметрам фильтра. В данной работе мы будем учитывать только требования к АЧХ.

Фильтры с передаточной функцией вида (8.6) называются полиномиальными.

(8.6)

Амплитудно-частотная характеристика таких фильтров при надлежащем выборе степени полинома (порядка фильтра) и коэффициентов а_n может удовлетворить заданным требованиям.

Ряд полиномиальных фильтров обладают наиболее точными аппроксимирующими характеристиками и они получили наибольшее распространение:

1. Фильтр Баттерворта с монотонно убывающей амплитудно-частотной характеристикой при w ≥ 0.

2. Фильтр Чебышева с равноволновой в полосе пропускания и монотонно убывающей в полосе задерживания амплитудно-частотной характеристикой.

3. Инверсный фильтр Чебышева с монотонно убывающей в полосе пропускания и равноволновой в полосе задерживания амплитудно-частотной характеристикой.

4. Эллиптический фильтр (также известен как фильтр Кауэра, или двойной фильтр Чебышева) с равноволновой как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания амплитудно-частотной характеристикой.

5. Фильтр Бесселя (также известный как фильтр с максимально плоской характеристикой группового времени замедления), который построен на основе аппроксимации рядом Тейлора вблизи p = 0 линейной фазочастотной характеристики.

В процессе аппроксимации АЧХ нормированного идеализированного фильтра необходимо обеспечить, чтобы результирующая функция отвечала требованиям устойчивости и физической реализуемости. В противном случае аппроксимирующая передаточная функция окажется бесполезной.

На этапе аппроксимации необходимо проделать следующее:

1. Выбрать тип фильтра.

2. Пересчитать исходные данные в требования к фильтру – ФНЧ-прототипу.

3. Определить минимальный порядок ФНЧ-прототипа, нули и полюсы его передаточной функции.

4. Пересчитать нули и полюса ФНЧ-прототипа в нули и полюсы синтезируемого фильтра.

5. Записать передаточную функцию фильтра, найти и построить АЧХ или характеристику затухания.

Практика проектирования фильтров базируется в основном на синтезе фильтров низких частот. Все другие виды фильтров могут быть получены из фильтров низких частот соответствующим преобразованием. Так, например, фильтр высоких частот может быть получен инверсией фильтра низких частот.