Передаточные функции фильтров

Z-преобразование. Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является z-преобразование. Применяя z-преобразование к обеим частям равенства (4.1), c учетом сдвига функций (y(k-m) ó z^m Y(z)), получаем:

Y(z)a_mz^m = X(z) b_nzⁿ, (8.1)

где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a_o = 1, получаем в общей форме функцию связи выхода фильтра с его входом - уравнение передаточной функции системы в z-области:

H(z) = Y(z)/X(z) =b_nzⁿ(1+a_mz^m). (8.2)

Для НЦФ:

H(z) =b_nzⁿ. (8.3)

При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(ω), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. В общей форме для выходных сигналов фильтра:

Y(z) = H(z)·X(z).

Y(z)·(1+a_m·z^m) = X(z)·b_n·zⁿ

Y(z) = X(z)·b_n·zⁿ – Y(z)·a_m·z^m. (8.4)

После обратного Z-преобразования выражения (8.4):

y(k) =b_n·x(k-n) –a_m·y(k-m). (8.5)

При подаче на вход фильтра единичного импульса Кронекера d_о, имеющего z-образ d(z) = zⁿ = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y(k) ≡ h(k), при этом:

H(z) = Y(z)/d(z) = Y(z) = TZ[y(k)] =h(k)z^k, (8.6)

т.е. передаточная функция фильтра является z-образом ее импульсной реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции соответственно получаем импульсную характеристику фильтра:

h(k) ó H(z). (8.7)

Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, что, как правило, характерно для НЦФ, то обратное z-преобразование осуществляется элементарно идентификацией коэффициентов по степеням z. Передаточная функция РЦФ также может быть представлена степенным полиномом прямым делением числителя на знаменатель правой части выражения (8.2), однако результат при этом может оказаться как конечным, так и бесконечным, т.е. система может иметь либо конечную, либо бесконечную импульсную характеристику. Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой получили название БИХ-фильтров, с конечной импульсной характеристикой соответственно КИХ-фильтров. Нерекурсивные фильтры всегда являются КИХ-фильтрами, т.к. длительность импульсной реакции НЦФ определяется окном фильтра.