Фильтры МНК 2-го порядка (МНК-2)

Рассчитываются и анализируются аналогично. Рассмотрим квадратный многочлен вида y(t)=A+B·t+C·t². Для упрощения анализа ограничимся симметричным сглаживающим НЦФ с интервалом дискретизации данных Dt=1.

Минимум суммы квадратов остаточных ошибок:

s(A,B,C) =[s_n-(A+B·n+C·n²)]². (10.1.4)

Система уравнений после дифференцирования выражения (10.1.4) по А, В, С и приравнивания полученных выражений нулю:

A1 + Bn + Сn² =s_n.

An + Bn² + Сn³ =n·s_n.

An² + Bn³ + Сn⁴ =n²·s_n.

При вычислении значения квадратного многочлена только для центральной точки (t=0) необходимости в значениях коэффициентов В и С не имеется. Решая систему уравнений относительно А, получаем:

(10.1.5)

При развертывании выражения (10.1.5) для 5-ти точечного НЦФ:

y_o = (17s_n - 5n²s_n) /35 = (-3·s_-2+12·s_-1+17·s_o+12·s₁-3·s₂) /35. (10.1.6)

Импульсная реакция: h_n = {(-3, 12, 17, 12, -3)/35}.

Передаточная функция фильтра:

H(z)= (-3z^-2+12z^-1+17+12z¹-3z²)/35. (10.1.7)

Рис. 10.1.8. Сглаживающие фильтры МНК.

Аналогичным образом выражение (10.1.5) позволяет получить импульсную реакцию для 7, 9, 11 и т.д. точек фильтра:

³h_n = {(-2,3,6,7,6,3,-2)/21}.

⁴h_n = {(-21,14,39,54,59,54,39,14,-21)/231}.

⁵h_n={(-36,9,44,69,84,89,84,69,44,9,-21)/459}.

Подставляя значение z = exp(-jw) в (10.1.7) или непосредственно в (10.1.6) сигнал s_n = exp(jwn) и объединяя комплексно сопряженные члены, получаем частотную характеристику 5-ти точечного сглаживающего фильтра МНК второго порядка:

H(w) = (17+24 cos(w)-6 cos(2w))/35.

Вывод формул передаточных функций для 7, 9, 11-ти точечных фильтров МНК предлагается для самостоятельной работы.

Рис. 10.1.9. Рис. 10.1.10.

Вид частотных характеристик фильтров при N=3 и N=5 приводится на рис. 10.1.8. При сравнении характеристик с характеристиками фильтров МНК-1 можно видеть, что повышение степени полинома расширяет низкочастотную полосу пропускания фильтра и увеличивает крутизну ее среза. За счет расширения полосы пропускания главного частотного диапазона при тех же значениях N коэффициенты усиления дисперсии шумов фильтров МНК-2 выше, чем фильтров 1-го порядка, что можно видеть на рис. 10.1.9.

Методика выбора окна фильтра под частотные характеристики входных сигналов не отличается от фильтров МНК 1-го порядка. На рис. 10.1.10 приведены значения d²(N) и s²(N) фильтров МНК-2 в сопоставлении со значениями фильтров МНК-1 для частоты f_в = 0.08 Гц при Dt=1. Из сопоставления видно, что для получения примерно равных значений подавления шумов фильтры МНК-2 должны иметь в 2 раза большую ширину окна, чем фильтры МНК-1. Об этом же свидетельствует и пример моделирования фильтрации, приведенный на рис. 10.1.11.

Рис. 10.1.11.

Модификация фильтров. Фильтры МНК второго порядка (равно как и другие фильтры подобного назначения) также можно модифицировать по условию H(w) → 0 при w → p. Один из простейших методов модификации заключается в следующем. В выражение передаточной функции (со всеми коэффициентами фильтра, вида (10.1.7)) подставляем z = exp(-jw), заменяем значения концевых коэффициентов фильтра на параметры, принимаем w = p, и, приравняв полученное выражение нулю, находим новые значения концевых коэффициентов, после чего сумму всех коэффициентов нормируем к 1 при w = 0.