Разностный оператор

Разностные операторы

Рассмотрим примеры частотного подхода при анализе разностных операторов.

Разностный оператор 1-го порядка имеет вид:

Ds_k = s_k+1-s_k.

Последовательное n-кратное применение оператора записывается в виде оператора n-го порядка:

Dⁿ(s_k) = D[D^n-1(s_k)] = Ds_k*D^n-1(s_k) (10.2.1)

Слева приводится таблица выходных значений импульсной реакции разностных операторов на единичный импульсный сигнал Кронекера. Как видно из таблицы, ряды последовательных разностей содержат знакопеременные биномиальные коэффициенты. В представленной форме разностные операторы являются каузальными фазосдвигающими (односторонними), но нетрудно заметить, что операторы четных степеней могут быть переведены в симметричную форму сдвигом вперед на половину окна оператора.

В последней строке таблицы приводятся коэффициенты усиления дисперсии шумов, значение которых резко нарастает по мере увеличения порядка оператора. Это позволяет использовать разностные операторы с порядком выше 1 для определения местоположения статистически распределенных шумов в массивах данных. Особенно наглядно эту возможность можно видеть на частотных характеристиках операторов.

Подставляя сигнал s(k) = exp(jwk) в (10.2.1) и упрощая, получаем:

Dⁿs(k) = (jⁿ) exp(jwn/2) [2 sin(w/2)]ⁿ exp(jwk). (10.2.2)

Так как первые два множителя в выражении (10.2.2) равны 1, зависимость коэффициента передачи разностного оператора от частоты определяется вторым сомножителем (2 sin(w/2))ⁿ и представлена на рисунке 10.2.1.

Рис. 10.2.1. Разностные фильтры.

Как следует из рисунка, разностные операторы подавляют постоянную составляющую сигнала и его гармоники в первой трети интервала Найквиста и увеличивают высокочастотные составляющие сигнала в остальной части интервала тем больше, чем больше порядок оператора. Как правило, эту часть главного интервала спектра сигналов занимают высокочастотные статистические шумы.

Шумы при анализе данных также могут представлять собой определенную информацию, например, по стабильности условий измерений и по влиянию на измерения внешних дестабилизирующих факторов. На рис. 10.2.2 приведен пример выделения интервалов интенсивных шумов в данных акустического каротажа, что может свидетельствовать о сильной трещиноватости пород на этих интервалах. Такая информация относится уже не шумовой, а к весьма полезной информации при поисках и разведке нефти, газа и воды.

Рис. 10.2.2.