Лекция 2 статистическая проверка гипотез

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности (о законе распределения, его параметрах и т.д.), проверяемое по результатам наблюдений за случайной величи­ной, т.е. по случайной выборке.

Наиболее распространенной является задача, когда производится анализ одной - единственной гипотезы Н₀ (например, о виде закона распределения или о значении параметра). Тогда по результатам наб­людений выдвинутая гипотеза либо принимается, либо отвергается. С этой целью вводится некоторая мера U, характеризующая степень бли­зости (рассогласования) между гипотетическими результатами наблю­дений над случайной величиной X, которые могут быть получены при принятой гипотезе Н=Н₀, и фактической выборкой (x₁,..,x_n), полу­ченной в результате наблюдений.

Множество всех возможных значений меры U разбивается на две части: область R₀ - в которой величина U принимает значение с дос­таточно высокой вероятностью (область принятия гипотезы); об­ласть R₁ - область "больших" значений меры рассогласования U, ве­роятность которых весьма мала (критическая область).

Если значение меры U, найденное по случайной выборке лежит в области R₀, то гипотеза Н₀ принимается, в противном случае гипоте­за Н₀ отвергается. Разбиение области на подобласти R₀ и R₁ опреде­ляется степенью допустимости ошибочных решений, которая задается вероятностью отвергнуть гипотезу Н₀. когда она на самом деле верна. Эта вероятность называется уровнем значимости и равна , a соответствующее пороговое значение меры U: U_кp -критическим значением. В зависимости от вида меры U и физического содержания задачи существуют различные варианты выбора критической области (рис.1.2). где - симметричная двухсторонняя область (нормальный закон и t распределение меры U), б - квазисимметричная двухсторонняя область (X2- и F-распределения). в - односторонняя критическая область (- и F-распределения).

Рис. 1.2

В качестве меры U обычно выбирают такую статистику, закон распределения которой заранее известен. Вид функции U(x₁,...,х_к) определяется тем, какие гипотезы рассматриваются [6].