Потенциал объема

Рассмотрим потенциал объема

(1)

где - конечная область. Предположим, что плотность ограничена и интегрируема в . Интеграл (1) является собственным, если точка лежит вне . В этом случае функция непрерывна и имеет частные производные всех порядков. Эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла, и удовлетворяет уравнению Лапласа вне области . Покажем, что при стремлении точки в бесконечность по любому направлению функция стремится к нулю, так что

где .

Пусть начало координат принадлежит области . Тогда

или

.

Обозначим через - диаметр области . Тогда

.

Будем считать, что точка настолько удалена от начала координат, что , т.е. , тогда или . Теперь

,

где

.

Таким образом, потенциал объема есть гармоническая функция вне области .

Пусть теперь точка лежит внутри области . Тогда интеграл (1) будет несобственным. В силу ограниченности плотности интеграл (1) сходится так, как

.

Кроме этого можно показать, что потенциал и его производные первого порядка непрерывны во всем пространстве и эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.

Для существования производных второго порядков требуется наложить на плотность потенциала дополнительные ограничения. А именно справедливо утверждение:

Теорема 1. Если плотность непрерывна в замкнутой области и имеет непрерывные производные первого порядка внутри , то потенциал объема (1) имеет непрерывные производные второго порядка внутри и удовлетворяет внутри уравнению Пуассона

.

Итак, если , то уравнение Пуассона

имеет частные решение

.