Поверхности Ляпунова

Для возможного строгого установления свойств потенциалов простого и двойного слоя необходимо подчинить ряду требований те поверхности, на которых расположены эти слои.

Будем называть замкнутую поверхность поверхностью Ляпунова, если выполнены следующие три условия:

1. Поверхность имеет везде касательную плоскость.

2. Вокруг каждой точки поверхности можно описать такой шар радиуса , не зависящего от , внутрь которого попадет лишь участок поверхности , встречающий прямые, параллельные нормали в точке , не более чем один раз.

3. Если - острый угол, образованный нормалями к в двух ее точках и , и - расстояние между этими двумя точками, то имеет место неравенство

,

где и - постоянные числа, причем .

Условие 1) дает возможность в каждой точке поверхности Ляпунова построить местную прямоугольную систему координат , Беря точку за начало координат, касательную плоскость в точке за плоскость и нормаль поверхности в точке за ось . Условие 2) показывает, что в этой местной системе координат уравнение части поверхности , заключенной внутри сферы с центром в точке и радиусом , может быть представлено в виде, разрешенном относительно :

.

Из условия 3) следует, что частные производные и являются непрерывными функциями и .