Потенциал двойного слоя

Рассмотрим потенциал двойного слоя непрерывной плотности , заданной на поверхности Ляпунова

. (2)

Потенциал двойного слоя имеет везде вне производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласса. Покажем, что потенциал двойного слоя стремится к нулю на бесконечности. Возьмем начало координат внутри области , ограниченный поверхностью . Тогда

или

Обозначим через наибольшее расстояние точек поверхности от начала координат. Тогда

Будем считать, что точка настолько удалена от начала координат, что т.е. , тогда или . Далее обозначим через угол образованный векторами и , где внешняя нормаль к поверхности в точке . Тогда формулу (2) можно представить так

Теперь

где

Следовательно, потенциал двойного слоя стремится к нулю на бесконечности как .

Далее мы приводем свойства потенциала двойного слоя не остнанавливаясь на их доказательстве.

Пусть теперь точка лежит на поверхности . Тогда обращается в нуль при совпадении точек и и интеграл (2) является несобственным. Можно показать что он сходится. Таким образом, потенциал двойного слоя (2) определен во всем пространстве.

Если точка лежит на поверхности , то значение интеграла (2) в этой точке называют прямым значением потенциала двойного слоя. Пусть теперь точка находится вне поверхности и пусть точка приближается к точке . Если при этом приближении оказывается, что потенциал двойного слоя стремится к некоторому конечному пределу, то мы будем говорить, что потенциал двойного слоя принимает в точке предельное значение. Предельные и прямые значения потенциала двойного слоя, вообще говоря, не совпадают. Оказывается, что предельные значения потенциала двойного слоя , вообще говоря, различны в зависимости от того, извне или инзутри стремится точка к поверхности , и эти предельные значения не совпадают с прямыми значениями, а именно справедливо утверждение:

Теорема 2. Потенциал двойного слоя имеет пределы при стремлении точки к точке поверхности извне или изнутри. Если предел значений извне обозначить через , а предел изнути – через , то имеют место формулы