Пусть замкнутая достаточно гладкая поверхность. Обозначим через область, ограниченную этой поверхностью, а через бесконечную область, внешнюю по отношению к , также ограниченную поверхностью .
Рассмотрим четыре задачи:
1. Внутренняя задача Дирихле. Найти функцию , гармоническую в , при условии
.
2. Внешняя задача Дирихле. Найти функцию , гармоническую в при условиях:
а) ,
б) .
3. Внутренняя задача Неймана. Найти функцию , гармоническую в , при условии
.
4. Внешняя задача Неймана. Найти функцию, гармоническую в , при условиях:
а)
б)
Прежде чем намечать пути решения этих задач, займемся их исследованием.
Теорема 1. Решение задачи Дирихле, внутренней или внешней, единственно.
Доказательство. Рассмотрим сначало внутреннюю задачу Дирихле. Предположим, что существуют два решения и одной и той же задачи Дирихле. Тогда из разность
будет гармонической функцией, равной нулю на . Отсюда из принципа максимума следует. что т.е. во всей области , так как в противном случае она должна была бы достигать внутри области положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно.
Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле. Как и выше, предположим, что существуют два решения и . Тогда из разность будет гармонической функцией, равной нулю на и при , т.е. для любого можно указать такое , что при . Пусть произвольная точка бесконечной области . Проведем сферу с центром в начале координат и радиусом столь большим, чтобы точка и поверхность лежали внутри этой сферы. Тогда , что следует из теоремы о максимуме и минимуме, примененной к конечной области, заключенной между и . В силу произвольностизаключаем, что , а так как любая точка области , то в , т.е. .
Теорема 2. Решение внешней задачи Неймана, имеющее непрерывные вплоть до границы производные первого порядка, единственно, решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до произвольной постоянной.
Доказательство. Рассмотрим сначала внутреннюю задачуНеймана. Пусть и два решения задачи Неймана в области с границей . Удовлетворяющие одному и тому же граничному условию
.
Тогда из разность будет гармонической функцией внутри области , для которой при .
Воспользуемся первой формулой Грина для гармонических функций
.
Правая часть равна нулю, значит, и левая часть равна нулю. Тогда в силу непрерывности функции и ее первых производных следует, что
.
т.е. , что и требовалось доказать.
Отметим, что внутренняя задача Неймана не всегда разрешима. Для ее разрешимости необходимо, чтобы
.
Необходимость вытекает из свойства гармонических функций (см. Лекцию №19). Для рассмотрения внешней задачи возьмем сферу радиуса , где достаточно большое число, и пусть объем, заключенный между и . Далее пусть и - два решения внешней задачи Неймана, удовлетворяющие одному и тому же граничному условию. Тогда их разность есть гармоническая функция в бесконечной области для которой
. (1)
Теперь, применяя формулу Грина для гармонических функций к области , получим
или в силу (1),
. (2)
В силу оценок (1) имеем
.
Тогда из (2) получаем, что при достаточно большом имеем
при любом , что возможно лишь при условии
.
Значить, так как при то , т.е. .