Линейные операции над векторами. К линейным операциям над векторами относят операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число

К линейным операциям над векторами относят операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число. Вспомним их определения.

Пусть даны два вектора a и b. Чтобы сложить их, нужно совместить параллельным переносом начало и конец этих векторов. Тогда суммой этих векторов будет вектор, соединяющий начало первого и конец второго вектора (правило треугольника). Векторы можно сложить также по правилу параллелограмма, совместив начала этих векторов. Суммой векторов, в этом случае, будет диагональ параллелограмма, выходящая из начала векторов.

	Правило треугольника	Правило параллелограмма

Вектор (– a) называется противоположным вектору a, если он имеет одинаковую с ним длину и противоположное направление. Очевидно, что
a +(– a)= 0.

Разностьюa–b двух векторов a и b называется сумма a +(– b), т.е. чтобы вычесть из вектора a вектор b, достаточно прибавить к вектору a вектор (– b). Отметим, что если на векторах a и b построить параллелограмм, то одна его диагональ равна сумме a+b, а вторая – разности a–b.

Произведением вектора a на число k называется вектор k a, имеющий длину | k |×| a | и сонаправленный с вектором a при k >0, или направленный противоположно a при k <0. Деление вектора на a на число k ¹0 можно рассматривать как умножение вектора на число 1/ k.

Вектор, имеющий длину, равную единице, и одинаковое с вектором a направление, называется единичнымвектором или ортом вектора a и будем обозначать символом a ₀. Из этого определения следует, что

Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. a+b=b+a – коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2. ( a+b ) + c=a+ ( b+c ) – ассоциативное (сочетальное) свойство суммы;

3. a(b a ) = (ab) a – ассоциативное свойство относительно числового множителя;

4. a( a+b ) = a a+ b b – дистрибутивное (распределительное) свойство относительно суммы векторов;

5. (a+b) a= a a+ b a – дистрибутивное свойство относительно суммы числовых множителей;

6. Существует нулевой вектор 0 такой, что x + 0 = x для любого вектора x (особая роль нулевого вектора);

7. Для любого вектора x существует противоположный вектор (– x ) такой, что x +(– x )= 0;

8. 1× x = x для любого вектора x (особая роль числового множителя 1).

Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Следует отметить, что под a, b, c можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество называется линейным пространством, которое мы рассмотрим в следующей лекции.