2014-02-13
14126
Ортонормированный базис – это базис, состоящий из единичных (нормированных) и взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов. В этом случае базисные вектора имеют особые обозначения:
e 1 = i, e 2 = j, e 3 = k.
Координаты вектора обычно обозначаются буквами x, y, z:
a = { x, y, z } º x i + y j + z k.
Длина вектора в ортонормированном базисе равна
(7.5)
Вектор однозначно можно определить не только заданием его координат, но и заданием длины вектора и его направления. Направление вектора в ортонормированном базисе задается при помощи направляющих косинусов:
(7.6)
где a, b, g – углы между вектором a и базисными векторами i, j, k, соответственно. Очевидно, что направляющие косинусы совпадают с координатами орта вектора: a 0={cosa, cosb, cosg}. При этом
(7.7)
Пример 7.4. Найти координаты вектора a, если он составляет с вектором i угол 600, с вектором j – 1200, а с векторов k – острый угол, при этом длина вектора | a |=2.
Решение. Учитывая, что a=600, b=1200, найдем угол g из уравнения
Отсюда находим
Следовательно, g=450 или 1350. По условию g – острый, т.е. g<900. Тогда g=900. Таким образом, получаем
|
|
|
т.е. орт вектора a имеет координаты
.
Поскольку | a |=2, то
или в явной форме
â
Вопросы. Может ли вектор образовывать с векторами ортонормированного базиса углы: а) 450, 600, 600; б) 300, 600, 450?
