Модель Леонтьева и теория трудовой стоимости Маркса

Статическая модель Леонтьева может быть использована для рассмотрения вопрос использования и распределения трудовых ресурсов. Обозначим через lj > 0 – затраты трудовых ресурсов при единичной интенсивности данного технологического процесса (отрасли) (числа lj, j = 1, 2,..., п, могут измеряться либо в человеко-часах, либо просто числом работающих), l = () – вектор затрат трудовых ресурсов, L – общий объем трудовых ресурсов. Объем затрат трудовых ресурсов в этом случае равен (Х, l). Поэтому допустимым решением системы (2.3) является в этом случае любой неотрицательный вектор Х, удовлетворяющий уравнению (2.3) и неравенству (Х, l) ≤ L.

В связи с этим сформулируем следующую экстремальную задачу.

Пусть вектор Y ≥ 0 задает не конечный спрос, а лишь структуру конечного спроса. Можно, например, считать, что ||Y|| = 1. Рассмотрим задачу составления оптимального плана

max α (2.15)

X–AX=αY, (2.16)

(Х, l) ≤ L, (2.17)

X ≥ 0, α > 0, (2.18)

которую можно интерпретировать как стремление максимизировать количество выпущенных «комплектов» Y. Содержанием этой задачи является рациональное распределение трудовых ресурсов. Можно доказать, что если матрица А продуктивна, то задача (2.15) – (2.18) имеет решение.

Построим к ней двойственную задачу:

min Lq (2.19)

ql ≥ p(E – A), (2.20)

(Y, p) ≥ 1, (2.21)

p ≥ 0, q ≥ 0. (2.22)

Здесь р – неотрицательный n-мерный вектор, q – число. Вектор р, число q оценки вектора спроса Y и общего количества трудовых ресурсов L соответственно. Если матрица А неразложима, то любой вектор Х, участвующий в решении задачи (2.15) – (2.18), является строго положительным: Х > 0. В самом деле, из продуктивности и неразложимости матрицы вытекает, что (E – A)^-1 > 0. Тогда из (2.16) следует, что

Х ≥ α((E – A)^-1Y > 0, то Х > 0. По условию α > 0.

По теоремам двойственности при оптимальном решении исходной и двойственной задачи выполняются равенства:

Откуда легко получить

α = qL, p = γl*,

где γ = (l*, Y)^-1 число, l* = l(E – A) – вектор полных трудовых затрат.

Число α равно общей стоимости вектора товаров αY при ценах р. Если положительные компоненты вектора Y соответствуют товарам потребительского спроса, то полученное первое уравнение выражает равенство спроса и предложения в стоимостном выражении – цена выпущенного объема конечной продукции равна общей сумме денег, полученных людьми, участвующими в процессе производства, в качестве заработной платы. Второе равенство сводится к следующему: вектор р цен на товары прямо пропорционален вектору полных трудовых затрат. Этот вывод перекликается с теорией трудовой стоимости К. Маркса. В самом деле, один из основных тезисов теории трудовой стоимости состоит в том, что в основе величины стоимости товара лежит количество общественно необходимого труда, требующегося для производства этого товара. Таким образом, можно констатировать, что полученный вывод не противоречит теории трудовой стоимости К. Маркса.