Передаточная функция ФЧ определяется выражением

1 2 3 4 5 6

Рис. 9.4. Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ Баттерворта

Рис. 9.2.

Вопросы для самоконтроля к лекции 8

1. Что такое единичная ступенчатая и единичная импульсная функции?

2. Объясните физический смысл переходной и импульсной характеристик

3. Какова связь между переходной и импульсной характеристиками?

4. Какова последовательность расчёта ЭЦ временным методом?

5. Что понимается под спектром периодического несинусоидального воздействия?

6. Как определяются спектральные характеристики непериодического воздействия?

7. Как определить спектр на выходе цепи?

8. Разберите решение задач 8.33, 8.44, 8.53, 8.58, 7.2, 7.7, 10.10, 10.11 из [4]

9. Решите задачи 8.39, 8.42, 8.45, 8.56 из [4].

Литература: [1] с. 254-302; [3] с. 238-241, 245-277; [4] с. 257-258, 215-219, 274-277; [5] с. 391-397.

Лекция 9. Электрические фильтры

9.1. Назначение и классификация электрических фильтров

Электрическим фильтром (ЭФ) называется четырёхполюсник, пропускающий без ослабления колебания одних частот и пропускающий колебания других частот с большим ослаблением.

Полоса частот, при которых ослабление мало, называется полосой пропускания (ПП), а остальная область частот называется полосой задерживания (ПЗ). По взаимному расположению ПП и ПЗ различают 4 типа фильтров (рис. 9.1):

а) фильтры нижних частот (ФНЧ) (рис. 9.1, а);

б) фильтры верхних частот (ФВЧ) (рис. 9.1, б);

в) полосовые фильтры (ПФ) (рис. 9.1, в);

г) режекторные фильтры (РФ) (рис. 9.1, г);

Рис. 9.1. Амплитудно-частотные передаточные характеристики идеальных фильтров.

9.2. Рабочие характеристики электрических фильтров

АЧХ передаточной функции идеального ФНЧ определяется выражением

|H(jw)|² = 1 0< w < w_C

0 w>w_C(9.1)

Ослабление фильтра равно

(9.2)

Реальные фильтры имеют АЧХ отличные от идеальных. Требования к характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов их изменения:

DА - максимально допустимое ослабление в ПП;

А_S - минимально допустимое ослабление в ПЗ;

f₁ - граничная частота ПП (для ПФ и РФ задаются f_-1 и f₁);

f_S – граничная частота ПЗ (для ПФ и РФ задаются f_S1 b f_S2).

Требования по ослаблению для всех типов фильтров показаны на рис. 9.3. Между ПП и ПЗ расположена переходная область (ПО).

Рис. 9.3. Частотные характеристики ослабления фильтров.

9.3. Полиномиальные фильтры

Идеальные частотные характеристики фильтра (рис. 9.2) заведомо нереализуемы физической цепью с конечным числом элементов. АЧХ реальных фильтров (рис. 9.3) могут лишь приближаться к ним с той или иной степенью точности в зависимости от сложности схемы фильтра. Поэтому необходимо решить задачу аппроксимации, т.е. найти такую функцию, достаточно точно воспроизводящую требуемую характеристику.

На практике эта задача решается с помощью:

1. полиномов Баттерворта – получают фильтры с максимально плоскими характеристиками ослабления (фильтры Баттерворта);

2. полиномов Чебышева – получают фильтры с равноволновыми характеристиками ослабления в ПП (фильтры Чебышева).

Фильтром Баттерворта (ФБ) называется фильтр, у которого ослабление монотонно возрастает и на границах ПП DA=3дБ. Передаточная функция ФБ определяется выражением

, (9.3)

где B_n (p) -полином Баттерворта порядка n;

a_n,…, a_n-1 - положительные вещественные числа.

, где

. (9.4)

а) б)

Крутизна частотных характеристик ФБ зависит от степени n (порядка фильтра). Чем выше порядок фильтра, определяемый числом реактивных элементов, тем круче идёт характеристика в ПЗ и тем меньше ослабление в ПП.

Фильтром Чебышева (ФЧ) называется фильтр, у которого ослабление в ПП имеет колебательный характер с амплитудой, не превышающей DА=0,01¸2 дБ, а в ПЗ монотонно возрастает с крутизной, большей чем у ФБ такого же порядка.

(9.5)

где T_n(p) - полином Чебышева порядка n

|H(jw)|²= (9.6)

а) б)

Рис. 9.5. Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ Чебышева:

а) ослабления, б) модуля передаточной функции.

Число экстремальных точек в ПП у ФЧ равно порядку фильтра.

Схемы ФБ и ФЧ порядка n одинаковы, но различаются значениями элементов.

Рис. 9.6. Схемы ФНЧ Баттерворта и Чебышева а) с Т-образным входом б) с П-образным входом.

9.4. Расчёт полиномиальных фильтров

Полиномиальные фильтры в зависимости от особенностей их применения могут быть реализованы в виде пассивных LC – фильтров или активных RC - фильтров. Рассмотрим расчёт пассивных LC - фильтров.

При расчёте фильтров по рабочим параметрам применяется нормирование элементов рассчитываемой схемы. Нормирование осуществляется относительно сопротивления нагрузки и граничной частоты ПП, т.е. и .

В настоящее время общепризнанной является методика расчёта фильтров заключающаяся в том, что требования к заданному фильтру преобразуются в требования к нормированному ФНЧ - прототипу.

ФНЧ – прототипом называется ФНЧ с нормированными значениями сопротивления и частоты, равными единице. Расчёт фильтров можно выполнить аналитическим и табличным методами.

Для сложных фильтров большого порядка расчёт аналитическим методом очень трудоёмок. Для наиболее часто используемых фильтров составлены подробные таблицы, упрощающие расчёт. В них приведены схемы и значения элементов для ФНЧ – прототипа n=3¸10.

9.5. Табличный метод расчёта фильтров

Рассмотрим порядок расчёта фильтров табличным методом:

1. Нахождение нормирующей частоты фильтра