Эффект Доплера

Опыт показывает, что измеряемая наблюдателем частота волны n совпадает с частотой n _o колебаний, испускаемых источником волн, только тогда, когда наблюдатель и источник либо неподвижны относительно окружающей их упругой среды, либо движутся относительно нее с одинаковыми по величине и направлению скоростями. Во всех остальных случаях n ¹ n _o - Это явление получило название эффекта Доплера.

Рассмотрим случаи, когда источник движется по отношению кнаблюдателю и когда наблюдатель движется относительно покоящегося источника.

Движение источника относительно наблюдателя. Пусть скорость звуковой волны относительно среды равна с. Источник И приближается или удаляется от наблюдателя Н со скоростью v (рис.a). Первоначальное расстояние между И и Н равно l. Сгущение волны, испущенной источником в момент времени t ₁, достигает наблюдателя к моменту времени T ₁ Следующее сгущение испускается источником в момент времени t ₂. За время t = t ₂– t ₁источник приблизится к наблюдателю на расстояние s = v (t ₂– t ₁) или удалится на такое же расстояние. Поэтому момент времени, в который второе сгущение достигнет наблюдателя, будет равен

(Знак «+» относится к удаляющемуся источнику, а знак «–» к приближающемуся.) Промежуток времени, в течение которого наблюдатель воспринимает два следующих друг за другом сгущения волны, будет

Число длин волн, испущенных источником за промежуток времени t, равно N = v _o t. Поэтому частота, воспринимаемая наблюдателем,

Таким образом, если источник звука приближается к наблюдателю, то наблюдатель воспринимает его как звук с большей частотой, т. е. более высокий по тону. При удалении источника звук воспринимается наблюдателем как более низкий. Это явление хорошо заметно, когда человек, стоящий на платформе, слышит звук гудка приближающегося или удаляющегося поезда. Именно таким образом и была проверена Доплером выведенная им в 1842 г. формула. В вагоне идущего поезда находился музыкант, играющий на трубе. Другой музыкант, стоящий на платформе, определял, на какую долю октавы изменялась высота воспринимаемого им звука.

Движение наблюдателя относительно источника. Пусть наблюдатель Н движется относительно источника И со скоростью u (рис. б). Рассуждая аналогично предыдущему случаю, можно показать, что частота, воспринимаемая наблюдателем, равна

(Знак «+» относится к случаю приближающегося к источнику наблюдателя, знак «–» - к удаляющегося.) Таким образом, приближаясь к источнику звука, наблюдатель слышит звук более высоким. Объединяя формулы можно вычислить частоту звука, воспринимаемую наблюдателем при совместном движении источника звука и наблюдателя. Если источник и наблюдатель движутся по отношению к прямой, соединяющей точки И и Н, под углами соответственно j и q (рис.в), то следует учитывать не сами скорости, а их проекции на прямую ИН. Для того чтобы упростить правило знаков, углы принято отсчитывать между направлениями векторов скоростей и вектором R, проведенным от наблюдателя к источнику звука. Тогда объединенная формула с учетом знаков косинусов углов принимает вид

Рассмотрим разновидность эффекта Доплера, возникающую при отражении волны от движущейся поверхности. Пусть волна от источника И падает под углом j на движущуюся плоскость (рис. г). Рассмотрим случай, когда плоскость приближается к источнику звука. Отражение волны происходит под тем же углом, и скорость отраженной волны соответствует скорости падающей. Вначале движущаяся плоскость является приемником излучения, и наблюдатель, находящийся на плоскости, воспринимал бы его с частотой n ¢=n_o(l + (v / c) cos j). После отражения волны плоскость становится движущимся излучателем,. и покоящийся наблюдатель воспринимает волну с частотой

Вычислим изменение частоты (n _д = D n) при отражении

Если звук отражается от плоскости, удаляющейся от источника волн, то изменение частоты будет таким же по величине, но с обратным знаком. Таким образом, при отражении волн от движущегося тела наблюдатель воспринимает звук повышенной или пониженной частоты в зависимости от направления движения этого тела. Величина n _д называется доплеровской частотой. Если скорость движущегося тела значительно меньше скорости волны в среде, что справедливо при всех биологических применениях эффекта Доплера (например, при отражении ультразвука от движущихся в потоке крови эритроцитов), то v << с и выражение для доплеровской частоты упрощается, поскольку вторым членом в знаменателе можно пренебречь по сравнению с единицей . Частота, регистрируемая наблюдателем, равна: n = n _o ± n _д.

Воспользуемся этой формулой, чтобы оценить величину доплеровской частоты при отражении ультразвука, распространяющегося в теле человека, от движущейся поверхности, например от пульсирующей стенки аорты. Будем считать, что скорость ультразвука в мягкой ткани 1500 м/с и частота его. 5 МГц. Скорость стенки аорты примем равной 1 м/с, а падение на нее волны будем считать нормальным. Тогда n _д = 2·5·10⁶/1,5·10³ = 6,7 кГц. Таким образом, доплеровская частота при облучении сердца лежит в области слышимого звука.

Для возникновения эффекта Доплера не обязательно, чтобы звук отражался от сплошной движущейся поверхности. Этот эффект возникает и при отражении от частиц, взвешенных в потоке жидкости. Если скорости частиц в потоке разные, что имеет место при движении их с потоком вязкой жидкости, то каждая скорость дает свою доплеровскую частоту; иными словами, приемник регистрирует целый спектр доплеровских частот.

Считая, что взвешенные в вязкой жидкости частицы движутся с такой же скоростью, что и сама жидкость, и вычислив скорость жидкости по доплеровской частоте, можно определить объемный расход жидкости в потоке: Q = vS, где S – площадь сечения потока, например, кровеносного сосуда. Приборы, действие которых основано на этом принципе, называют доплеровскими расходомерами.