Оптимизация числа ниток в графике движения поездов

Некоторые простейшие задачи нелинейной оптимизации

Многие практические задачи оптимального планирования, управле-ния, выбора параметров технических средств при их математической формализации приводят к нелинейным зависимостям. Рассмотрим сказанное на примерах.

Оптимальные размеры движения поездов определяют исходя только из времени нахождения их на участке. Но прежде чем отправиться на участок, готовые поезда находятся на станции в ожидании нитки графика. Причем чем больше ниток в графике движения, тем меньше среднее время ожидания отправления со станции. Однако чем больше ниток в графике движения, тем больше среднее время следования поезда по участку (из-за "перетяжки" их с одной нитки графика на другую). В связи с этим при разработке графика движения поездов необходимо оптимизировать число ниток, исходя из минимизации времени нахождения поездов на участке и станции в ожидании отправления.

T = t_ст + t_уч ® min,

где t_ст - время ожидания готовыми поездами отправления со станции;

t_уч - время проследования участка поездами.

Минимальное значение расчетного межпоездного интервала определяет максимально возможное число ниток в графике движения N_max , составляющими которого являются оптимальное N_опт и резервное N_р число ниток.

Слагаемые T = t_ст + t_уч являются функцией числа используемых ниток графика движения, т.е. Tf(N), t_ст f(N), t_учf(N).

Среднее время ожидания поездами отправления со станции равно половине среднего интервала между нитками графика

t_ст =(1440/N)/2=720/N.

Зависимость времени хода поездов по участку от числа использованных ниток графика аппроксимируется функцией

t_уч = ab^N,

где a и b - коэффициенты, зависящие от характеристик участка (длины, профиля пути, числа путей на станции и т.п.).

Поскольку с ростом числа поездов на участке N увеличивается время их хода, то b >1.

Для определения оптимального числа ниток требуется найти минимум T(N), который определяется решением T(N)=0 или

ab^N ln b - 720/N² = 0.

Это уравнение является трансцендентным и в общем виде не имеет аналитического решения.

Полученное уравнение можно решить графически (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

На рис. 3.1 изображены графики функций затрат времени на проследование поездами (2), ожидание отправления со станции формирования (1) и суммарных (3).

Из рис. 3.1 видно, что с увеличением размеров движения возрастают затраты времени на проследование участка поездами, но при этом сокращается время в ожидании отправления поездов со станции формирования. Минимум суммарных затрат времени (точка А) определяет оптимальное число ниток в графике движения, которые целесообразно использовать. Проекция точки А на ось абсцисс (точка А₁) дает оптимальное распределение между числом используемых N_опт и резервных N_р ниток движения. Оптимальное число ниток движения зависит от технического оснащения участка, которое характеризуется максимально допустимой скоростью следования поездов и минимальным значением расчетного межпоездного интервала.