y = a0 . (2.7)
Прологарифмировав (2.7) и вводя обозначение имеем:
Y = a1 x + A0 ,
где Y = ln y; A0 = ln a0 ; X = ln x.
Имея результаты опыта в виде n пар
| x2 | … | xn | ||
y1 | y2 | … | yn |
перейдем к парам
| X2 | … | Xn | ||
y1 | y2 | … | yn |
Здесь Y = ln y, X = ln x и по (2.3) находим a1 и A0 .
В заключение рассмотрим в качестве эмпирической функции многочлен
j(x) = a0 + a1 x + … + am xm.
Тогда формула для определения суммы квадратов отклонения будет иметь вид
F = 2 ® min.
Для составления системы уравнений найдем частные производные функции F по (a0, a1, …, am):
(a 0 + a1 x i + … + am - yi );
(a 0 + a1 x i + … + am - yi ) xi ;
(a 0 + a1 x i + … + am - yi).
Приравнивая эти выражения нулю в соответствии с уравнением (2.4) и группируя коэффициенты при неизвестных a0, a1, …, am, получим следующую систему уравнений:
|
…
Решая эту систему линейных уравнений, находим коэффициенты a0, a1, …, am, которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы.
Систему (2.7) можно записать в более компактной форме
b00 a0 + b01 a1 + … + b0m am = c0 ;
b10 a0 + b11 a1 + … + b1m am = c1 ;
…
bm0 a0 + bm1 a1 + … + bmm am = cm ,
где bki = ; ck = ; k, i = 0, m.
Относительные погрешности аппроксимации в заданных точках можно оценить по формуле
.
Интерполирование
В результате экспериментальных исследований часто получают таблицу значений некоторой функции f(x) при фиксированных значениях аргумента xi, т.е. f(xi), i = 0, n. Аналитическая зависимость между xi и f(xi) неизвестна, что позволяет вычислить значение функции f(xi) в промежуточных точках, отличающихся от экспериментальных точек xi, i = 0, n. Для отыскания этих значений строят аппроксимирующую (приближенную) функцию j(x), расчеты по которой совпадают либо в некотором смысле приближаются к экспериментально наблюдаемым значениям. Построение функции j(x) называется интерполированием. К интерполированию прибегают и в случае, когда аналитический вид функции f(x) известен, но для получения ее значений необходимо провести большой объем вычислений. Замена функции f(x) приближенной формулой j(x) позволяет упростить вычисления.
Пусть y = f(x) существует для любой точки отрезка [ a, b ], тогда ее значения известны только в отдельных точках x0 , x1 , …, xn этого отрезка. Пусть x* некоторая точка из [ a, b ], и нужно найти неизвестное значение y* = f(x*) по известным значениям y0 = f(x0), y1 = f(x1), …, yn = f(xn). Такая задача называется задачей интерполирования функции y = f(x).
Для решения этой задачи используют алгебраический многочлен n-й степени Pn(x), принимающий в точках x0 , x1 , …, xn те же значения, что и функция f(x), т.е.
Данный многочлен называется интерполяционной формулой Лагранжа.
|
Это алгебраический многочлен n-й степени, удовлетворяющий всем табличным значениям функции, т.е. если в эту формулу подставить значение x = a, то получим значение j (a) = f (a), алгоритм нахождения интерполяционного многочлена представлен на рис. 2.4.
|