Для оценки эффективности кодов БЧХ воспользуемся теоремой 5.1, позволяющей установить соотношение между корректирующей способностью кода и его параметрами n и k.
Пусть для циклического (n, k) – кода справедливо для некоторого l, откуда .
Тогда кратность исправляемых ошибок этим кодов определяется как
.
Минимальное кодовое расстояние может быть найдено из известного соотношения
.
Этих сведений достаточно для краткого анализа эффективности циклического кода в реальном канале с известными параметрами р и α.
Для режима исправления ошибок выигрыш по достоверности по сравнению с простым кодом равен
.
Для режима обнаружения ошибок выигрыш составляет
.
Существенным является тот факт, что при исправлении ошибок теоретически возможно обеспечение любой степени повышения достоверности за счет увеличения длины кода n и числа избыточных элементов n - k. Однако практическая реализация таких кодов вызвала бы серьезные затруднения.
Рассмотрим пример.
Пример 6.12. Пусть некоторый реальный канал характеризуется параметрами
|
|
Найти циклический (n, k) – код, повышающий достоверность передачи на 1 десятичный порядок путем исправления ошибок, т.е. требуется найти код, для которого
Определим сначала необходимое количество избыточных элементов . Составим уравнение:
откуда
или
.
Потребное число избыточных элементов
.
Для нахождения кода с данным числом избыточных элементов составим таблицу
N | ||
Из построенной таблицы видно, что требуемой эффективностью обладают коды с п >1000.
В частности, данной эффективностью обладают коды (1023, 10) и (1023,20), для которых эффективность равна
и
.
Сравнение значения для в режимах исправления и обнаружения позволяет сделать вывод, что режим обнаружения эффективнее исправления для одного и того же кода и канала в раз. Например, для кода (1023,10) из предыдущего примера эффективность при обнаружении ошибки равна