Приравнивая правые части уравнений (5.5) и (5.6), получим дифференциальное уравнение теплоотдачи, характеризующее условия теплообмена на границе

В потоке за пределами пограничного слоя тепло передаётся одновременно как теплопроводностью, так и конвекцией.

Распространение тепла теплопроводностью в элементарном объёме среды описывается дифференциальным уравнением Фурье

или . (5.7)

Это уравнение характеризует местное (локальное) изменение температуры элемента среды и не учитывает изменение температуры в нём при конвективном переносе элемента из одной точки в другую с большей или меньшей температурой.

Если скорость конвективного перемещения элемента среды относительно осей X, Y, Z обозначить а изменение его температуры при движении относительно осей соответственно то конвективное изменение температуры рассматриваемого элемента будет выражаться суммой

Следовательно, полное изменение температуры элементарного объёма среды будет состоять из локального и конвективного

Заменив в уравнении (5.7) локальное изменение температуры полным, получим дифференциальное уравнение конвективного теплообмена Фурье-Кирхгофа

, (5.8)

или . (5.8, а)

Для установившегося процесса . Для твёрдых тел и уравнение Фурье-Кирхгофа превращается в дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье.

Критерии теплового подобия можно получить, проведя подобные преобразования уравнения Фурье-Кирхгофа. В подобных преобразованиях знаки математических операторов могут быть отброшены, поэтому

Следовательно, после подобных преобразований уравнение будет иметь вид

Разделив в этом уравнении все члены на правую часть, в левой части получим безразмерный комплекс обратную величину которого называют критерием Фурье

и безразмерный комплекс так называемый критерий Пекле

Критерий Фурье является критерием тепловой гомохронности. Он характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физическими свойствами и размерами тела.

Критерий Пекле является мерой соотношения конвективной и кондуктивной составляющими при конвективном теплообмене, т.е. он характеризует отношение количества тепла, переносимого конвекцией вдоль течения, к количеству тепла, передаваемого теплопроводностью к стенке.

Умножив числитель и знаменатель критерия Пекле на кинематическую вязкость ν, получим выражение критерия Pe через критерии Рейнольдса (Re) и Прандтля (Pr)

где критерий является мерой подобия полей температур и скоростей и характеризует подобие физических свойств теплоносителей при конвективном теплообмене.

Передача теплоты в пограничном слое характеризуется уравнением . Разделим обе его части на правую часть и, проведя подобные преобразования, получим критерий Нуссельта

где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·⁰C); λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м·⁰C);

l – определяющий геометрический размер, м.

Критерий Нуссельта (или критерий теплоотдачи)

характеризует процесс теплообмена между теплоносителем и стенкой. Равенство критериев Нуссельта характеризует подобие процессов теплопереноса на границе между стенкой и потоком жидкости.

Поскольку конвективный теплообмен связан с движением жидкости, необходимыми условиями процесса переноса теплоты является соблюдение не только теплового, но и геометрического и гидродинамического подобий. Последнее характеризуется равенством критериев Рейнольдса (Re), Фруда (Fr), гидродинамической гомохронности (Ho) и геометрического симплекса (Г = l/d, где d – диаметр трубы).

Таким образом, обобщенное (критериальное) уравнение конвективного теплообмена имеет вид

Искомый коэффициент теплоотдачи α входит в критерий Nu, следовательно, он и является определяемым

Когда влияние критерия Fr очень мало (вынужденное движение жидкости), в установившемся процессе теплообмена (отсутствие критериев Ho и Fo) обобщенное уравнение принимает вид

При естественной конвекции из этого уравнения исключают критерий Re. Критерий Fr при естественной конвекции исключать нельзя. Вследствие трудностей при определении скорости движения жидкости при естественной конвекции его обычно заменяют производным критерием Архимеда, который характеризует отношение равнодействующей сил тяжести и подъемной силы к подъемной силе

или ,

где ρ и ρ₀ – плотность холодной и нагретой жидкости (среды).

Так как Δ ρ = ρ₀ - ρ₀ (1 - β Δ t) = ρ₀∙β∙ Δ t, то, подставляя в критерий Ar вместо Δ ρ его значение, получают критерий Грасгофа, который характеризует соотношение подъемной силы и силы вязкости среды, т.е. характеризует режим движения теплоносителя при свободной конвекции

или ,