Вывод дифференциального уравнения теплопроводности Фурье

Разложим общий поток тепла, поступающий в объём, на составляющие, параллельные осям координат.

Пусть через грань dy ∙ dz входит тепло , через грань dх ∙ dz – , через грань dy ∙ dx – , а через противоположные грани выходит соответственно ,,.

Количество тепла, введённого в параллелепипед через три грани.

В соответствии с законом Фурье градиент температуры, количество тепла, воспринимаемого гранью , может быть выражено как

Для количества выведенного тепла в направлении оси Х

Следовательно, количество тепла, израсходованного на нагрев параллелепипеда тепловым потоком вдоль оси х за время dτ

Аналогично для двух других осей

Общее количество тепла, полученное элементарным объёмом

(5.1)

На основе закона сохранения энергии количества тепла, введённого в объём dx·dy·dz, равно изменению его энтальпии (внедрённой энергии – теплосодержанию) и может быть выражено соотношением

, (5.2)

где с – теплоёмкость материала параллелепипеда, ρ – плотность,

– изменение температуры во времени.

Приравняв правые части уравнений (5.1) и (5.2), получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье.

(5.3)

Множитель – называется коэффициентом температуропроводности.

Обозначим и .