Разложим общий поток тепла, поступающий в объём, на составляющие, параллельные осям координат.
Пусть через грань dy ∙ dz входит тепло , через грань dх ∙ dz – , через грань dy ∙ dx – , а через противоположные грани выходит соответственно ,,.
Количество тепла, введённого в параллелепипед через три грани.
В соответствии с законом Фурье градиент температуры, количество тепла, воспринимаемого гранью , может быть выражено как
Для количества выведенного тепла в направлении оси Х
Следовательно, количество тепла, израсходованного на нагрев параллелепипеда тепловым потоком вдоль оси х за время dτ
Аналогично для двух других осей
Общее количество тепла, полученное элементарным объёмом
(5.1)
На основе закона сохранения энергии количества тепла, введённого в объём dx·dy·dz, равно изменению его энтальпии (внедрённой энергии – теплосодержанию) и может быть выражено соотношением
, (5.2)
где с – теплоёмкость материала параллелепипеда, ρ – плотность,
– изменение температуры во времени.
Приравняв правые части уравнений (5.1) и (5.2), получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье.
(5.3)
Множитель – называется коэффициентом температуропроводности.
Обозначим и .