Эллипсоид инерции

Рассмотрим систему точек mi с координатами xi,yi,zi. Возьмем луч, проходящий через точку О и имеющий направляющие косинусы a, b, g. Di – расстояние i-ой точки до луча: или

Отсюда момент инерции J материальной системы относительно луча (a,b,g) равен:

(*), где

A,B,C обозначают моменты инерции системы относительно осей координат, D,E и F – произведения инерции или центробежные моменты инерции относительно тех же осей.

На луче строим точку Р по формуле , ее координатами будут величины

Уравнение геометрического места точек Р отсюда в силу (*) будет

Если материальная система представляет собой объемное тело, то поверхность этого геометрического места точек представляет собой эллипсоид. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции системы, построенным относительно точки О. Эллипсоид инерции рассматриваемой системы изменяется при изменении точки, относительно которой он строился. Центральным эллипсоидом инерции называется эллипсоид инерции, построенный относительно центра масс рассматриваемой материальной системы или тела. Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела относительно точки О.

Замечание. Если D=0 и E=0, то ось z является главной осью эллипсоида инерции.

Не всякий эллипсоид может являться эллипсоидом инерции, ибо для эллипсоида инерции должно выполняться условие: A+B>C; B+C>A; C+A>B.