Основные логические операции. Логические высказывания

Логические высказывания

Алгебра логики

Под логическим высказыванием понимается повествовательное предло­жение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или лож­но, но не то и другое вместе.

Примеры:

1. Волга впадает в Каспийское море.

2. Два больше трёх.

3. Я лгу.

Примеры 1, 2 являются высказываниями (1 – истинно, 2 –ложно). Пример 3 – не высказывание (если предположить, что оно истинно, то в силу его смысла оно одновременно ложно и, наоборот, из лож­ности этого предложения вытекает его истинность).

В алгебре логики не рассматривают внутреннюю струк­туру высказываний, а ограничиваются рас­смотрением их свойства представлять истину или ложь. Поэтому на высказывание можно смотреть, как на величину, которая может принимать только одно из двух значений: «истина» или «ложь».

Высказывания будем обозначать буквами А, В, С, а их зна­чения («истина» или «ложь») – соответственно цифрами 1 или 0. Эти цифры будем рассматривать как символы, не имеющие арифметического смысла.

В обычной речи сложные предложения образуются из простых предложений с помощью связок: «и», «или», «если..., то…» и т. д.

Примеры:

1. Светит солнце, и идёт дождь.

2. Шесть делится на два или шесть делится на три.

3. Если контакт замкнут, то лампа горит.

Связки можно рассматривать как операции над высказывания­ми. В алгебре логики вводят операции, аналогичные связкам обычной речи. При этом истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется истинностью или ложностью его составляющих.

1. Выражение А Ù В («А и В») означает высказыва­ние, истинное только в том случае, когда А и В истинны.

Такое вы­сказывание называют конъюнкцией выска­зы­ва­ний А и В. Символ Ù обозначает операцию конъюнкции. Эта операция соответствует союзу «и» в обычной речи. В алгебре логики знак операции «Ù» можно опускать или заменять на «•».

В обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далекие по со­держанию. В алгебре высказываний операция конъюнкции мо­жет быть применена к любым двум высказываниям. Например, для высказываний: «пять больше трех» и «трава зеленая» их конъюнкция является истинным вы­сказыванием.

2. Выражение А Ú В («А или В») означает высказы­вание, истинное, если хотя бы одно из высказываний А или В явля­ется истинным.

Такое высказывание называют дизъюнкцией вы­ска­зыва­ний А и В. Символ Ú обозначает операцию дизъюнкции. Эта операция соответствует союзу «или» в обычной речи, применяе­мому в неисключающем смысле.

Дело в том, что в обычной речи союз «или» может иметь два смысловых значения: неисключающее и исключающее. В пер­вом случае подразумевается, что из двух высказываний, по крайней мере, одно истинно, а может быть и оба истинны. Пример такого высказывания: «В жаркую погоду пьют воду или едят мороже­ное».
Во втором случае полагают, что из двух высказываний истин­ным является только одно. Пример такого высказывания: «Сегодня мы поедем на экскурсию или пойдем на пляж». Конъюнкция высказываний соответствует перво­му случаю.

3. Выражение A ® B («если А, то В» или «А влечет В») означает высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Такое высказывание называют импли­кацией высказываний А и В. Высказывание А называется условием (посылкой), высказывание В – заключением (следствием) импликации. Символ ® обозначает опера­цию импликации.

В обычной речи операции импликации соответствует связка «если..., то…». Отличие состоит в том, что связка предполагает смысловую за­висимость соединяемых высказываний, а для операции ® смысло­вая связь несущест­венна.

Например, высказывания: «если 2 * 2 = 5, то трава синяя» и «если два больше трех, то восемь делится на четыре» являются истинными, так как у первого из них ложная посылка, а у второго – истинное следствие. Импликация: «если 2 * 2 = 4, то 5 < 2» ложна, поскольку ее условие истинно, а заключение ложно.

4. Выражение A ~ В («А эквивалентно В») означает высказывание, кото­рое истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны или оба ложны.

Такое высказывание называют эквивалентностью высказываний A и В. Символ ~ означает операцию эквивалентности.

В обычной речи этой операции соответствует связка: «тогда и только тогда, когда». Примером эквивалентности может служить высказывание: «Треугольник ABC равнобедренный тогда и только тогда, когда угол при вершине В равен углу при вершине С».

4. Выражение `А («не А») означает высказывание, которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А истинно.

Такое высказываниеназывают отрицанием высказывания А. Символ `над буквой обозначает операцию отрицания.

В обычной речи этой операции соответствует частица «не». Например, для истин­ного высказывания: «восемь делится на четыре» отрицанием являет­ся ложное высказывание: «неверно, что восемь делится на четыре» или «восемь не делится на четыре».