Методы интегрирования

При интегрировании наиболее часто используются следующие методы.

1) Если то

(1)

где а и b –некоторые постоянные.

2) Подведение под знак дифференциала:

(2)

так как

3) Формула интегрирования по частям:

(3)

Обычно выражение выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За , как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида , где –многочлен от х.

4) Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений двух многочленов и (соответственно й и n й степени): сводится к разложению подынтегральной функции на элементарные, всегда интегрируемые дроби вида:

, (4)

где l и m –целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. При этом в случае неправильной дроби () должна быть предварительно выделена целая часть.

5) Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) является одним из эффективных приемов интегрирования. Его сущность состоит в переходе от переменной х к новой переменой t: . Наиболее целесообразная для данного интеграла замена переменной, т.е. выбор функции , не всегда очевидна. Однако для некоторых часто встречающихся классов функций можно указать такие стандартные подстановки:

где R – символ рациональной функции.

2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

(5)

если и первообразная непрерывна на отрезке .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, y =0 и частью графика функции взятой со знаком плюс, если , и со знаком минус, если .

Пример 1. Найти .

Решение. Так как то, используя формулы (1), получим

Проверка:

Пример 2. Найти .

Решение. Так как , то по формуле (2) находим

Пример 3. Найти .

Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим , тогда . Используя формулу (3), имеем

.

Пример 4. Найти .

Решение. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (4):

.

Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов :

.

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая х= 2 (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, например и при:

Решение этой системы дает: . Таким образом,

.

Пример 5. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Применим метод замены переменной; положим , откуда . Найдем пределы интегрирования по переменой t: при имеем , а при имеем . Переходя в исходном интеграле к новой переменной и применяя формулу Ньютона-Лейбница (5), получаем:

.