2015-01-21
356
Основные теоретические сведения.
1. Пусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действительных чисел (x; y), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ставится в соответствии один и только один элемент u из U, то говорят, что на множестве D задана функция f (или отображение) со множеством значений U. При этом пишут 
, или 
, или 
. Множество D называется областью определения функции, а множество U, состоящее из всех чисел вида 
, где 
, 
множеством значений функции. Значение функции в точке 
называется частным значением функции и обозначается 
или 
.
2. Частные производные первого порядка.
Частной производной от функции 
по независимой переменной 
называется конечный предел
вычисленный при постоянном 
.
Частной производной по называется конечный предел
,
вычисленный при постоянном .
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
3. Полный дифференциал.
Полным приращением функции в точке 
называется разность 
где 
и 
произвольные приращения аргументов.
|
|
|
Функция называется дифференцируемой в точке 
, если в этой точке полное приращение можно представить в виде
, где 
.
Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения 
, линейная относительно приращений аргументов и , т.е. 
.
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. 
и 
.
Полный дифференциал функции вычисляется по формуле
.
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов 
вычисляется по формуле
.
При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства
.
