2015-01-21
482
Производная неявной функции 
, заданной с помощью уравнения 
, где 
дифференцируемая функция переменных 
и 
, может быть вычислена по формуле
при условии 
Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом как функцию от .
Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных 
, заданной с помощью уравнения 
, где 
дифференцируемая функция переменных 
и 
, могут быть вычислены по формулам
при условии 
6. Экстремум функции.
Функция 
имеет максимум (минимум) в точке 
, если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке 
некоторой окрестности точки 
, т.е. 
[соответственно 
] для всех точек 
, удовлетворяющих условию 
, где 
достаточно малое положительное число.
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.
|
|
|
(необходимые условия экстремума).
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Пусть стационарная точка функции . Обозначим
и составим дискриминант 
Тогда:
а) если 
то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при 
и минимум при 
б) если 
то в точке экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);
в) если 
то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Пример 1. Дана функция 
Найти 
и 
.
