Предел функции

Пусть дана функция y = f (x), определенная на множестве значений аргумента, содержащего некоторую точку а. Рассмотрим -окрестность точки а, где - малое положительное число :

Пусть для значений x, достаточно близких к а, т. е. принадлежащих d -окрестности точки а, соответствующие значения функции y = f (x) неограниченно приближаются к некоторому числу А. Это значит, что разность (f (x) - A) все время уменьшается. В этом случае число А называется пределом функции y = f (x) при .

О п р е д е л е н и е 1. Число А называется пределом функции y = f (x) при , если для любого сколь угодно малого e найдется малое положительное , такое, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство (рис. 63):

. (4.2)

Неравенство означает, что значения функции y = f (x) попадают в e -окрестность точки А на оси ОУ.

Из рис. 63 следует, что, если число А есть предел функции y = f (x) при

, то как только значения независимой переменной х попадут в

-окрестность точки а, так сразу соответствующие значения функции попадут в

-окрестность точки А, т. е. график функции будет целиком лежать в полосе шириной 2e.

Рис. 63

О п р е д е л е н и е 2. Число А называется пределом функции y = f (x) при , если для всякого положительного сколь угодно малого e найдется такое положительное число , что для всех значений х, удовлетворяющих условию , будет выполняться неравенство (рис. 64).

(4.3)