Свойства характеристических функций

1. Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой и удовлетворяет следующим соотношениям:

E_x(0)=1 E_x(t)|£ 1, (-¥<t<¥)—

2. Если E_x(t) - характеристическая функция случайной величины X и

Y=aX+b, где a и b ~ const, то

E_Y(t) = e^ibt E_Х(at)) —

3. Если у случайной величины X существует абсолютный начальный момент k-того порядка, т.е. M|X^k|<¥, a_k[X], то существует k-ая производная характеристической функции, причем

a_k[X] = i^-^k (1)

Если случайная величина X имеет моменты до порядка k включительно, то на основании (1) характеристическую функцию E(t) можно представить рядом Маклорена:

(2)