Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [ a, b ] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [ a, b ] соответствует большее значение функции, то есть если x ₁ < x ₂, то f(x ₁ ) < f(x ₂ ).

Функция y=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [ a, b ], если меньшему значению аргумента x из [ a, b ]соответствует большее значение функции, то есть если x ₁ < x ₂, то f(x ₁ ) > f(x ₂ ).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [ a, b ], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

(-∞, a), (c, +∞) – убывает;

(a, b) – постоянная;

(b, c) – возрастает.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.