Связь между изобарной и изохорной теплоемкостями в общем виде

Функция состояния ТС – энтропия может быть представлена в виде функциональной связи S=S (T,V). Дифференциал энтропии – полный дифференциал, т.е.

. (1)

Разделим уравнение (1) на dT и умножим на Т при р= const. Тогда имеем:

. (2)

По определению и . После их подстановки в (2) получим:

. (3)

Производная включает калорическую величину – энтропию и неудобна при расчетах. Поэтому заменим эту производную, используя соотношения взаимности Максвелла для смешанных производных от свободной энергии Гельмгольца:

.

Тогда, используя уравнение связи в виде:

, получим:

. (4)

Подставим выражение (4) вместо в (3) и получим:

. (5)

Покажем, как из уравнения (5) можно получить уравнение Майера для идеального газа, дифференцируя уравнение состояния:

. Тогда и .

После подстановки этих производных в (5) получим:

, Дж/К.

Таким образом, получили уравнение Майера для общих теплоемкостей С_р и С_V системы:

.

Получим связь между С_р и C_V в другом виде, используя производные от натуральных логарифмов параметров и учитывая, что .

Тогда получим, что

и . (6)

После подстановки выражений (6) в уравнение (5) с учетом, что , окончательно получим связь между изобарной и изохорной теплоемкостями в общем виде:

.