Эргодические случайные процессы

Случайный процесс может быть описан не только путем усреднения значений процесса в отдельные моменты времени (т.е. усреднением по ансамблю), возможно также его описание путем усреднения по времени наблюдения одной выборочной функции (рисунок 1.8).

– выборочная функция, – временной сдвиг между точками СП,

– время наблюдения выборочной функции

Рисунок 1.8 – Выборочная функция СП

Среднее значение и ковариационная функция случайного процесса в этом случае принимают вид:

, (1.13)

, (1.14)

где – выборочная функция;

– номер выборочной функции;

– время наблюдения выборочной функции.

Такой способ усреднения носит названия усреднения по времени наблюдения.

Если среднее значение и ковариационная функция процесса, рассчитанные по соотношениям (1.13), (1.14), одинаковы для различных выборочных функций (различных номеров реализаций ), а случайный процесс является стационарным, то он относится к эргодическим случайным процессам.

Для таких процессов справедливы следующие соотношения:

1. ;

2. .

Усредненные характеристики эргодических случайных процессов, рассчитанные усреднением по ансамблю выборочных функций и усреднением по времени наблюдения одной выборочной функции, равны между собой.

Введенные выше усредненные характеристики СП могут быть записаны в операторной форме:

,

,

где – оператор усреднения.

1.2.3 Погрешности выборочных оценок

Рассмотрим еще раз формулы расчета среднего значения случайного процесса путем усреднения по ансамблю выборочных функций

и усреднения по времени наблюдения одной реализации

.

Обе формулы содержат операцию перехода к пределу, которая на практике, конечно, неосуществима, поскольку невозможно обработать бесконечное число реализаций () или одну реализацию бесконечной длины (). Поэтому анализ случайных процессов дает только выборочные оценки истинных значений их параметров. Необходимо уметь оценивать величину возникающей при этом ошибки.

При обработке случайных процессов ошибки подразделяют на случайные и систематические.

Случайные ошибки являются следствием разброса значений, полученных по разным выборочным функциям одного случайного процесса. Эти ошибки являются прямым следствием конечности числа реализаций или времени наблюдения . По этой причине случайные ошибки неизбежны.

Величина случайной ошибки обратно пропорциональна корню квадратному из числа реализаций или времени наблюдения:

~ или ~ . (1.15)

Анализ соотношения (1.15) показывает, что для уменьшения случайной ошибки измерений, например, в два раза необходимо увеличить время обработки реализации или количество выборочных функций в четыре раза.

Абсолютное значение и знак систематических ошибок не изменяется при переходе от одной выборочной функции к другой. Такие ошибки называют также смещением. Смещение часто появляется при приближенном вычислении производных, например при оценивании плотностей вероятности.