Надежность восстанавливаемой системы

Рассмотрим системы, которые в процессе эксплуатации после возникновения отказов ремонтируются. Предположим, что интенсивность отказов системы Λ(t)=Λ=const; интенсивность восстановлений M(t)=M=const; t - заданная наработка.

Эти допущения позволяют рассматривать процесс, протекающий в системе, как марковский случайный процесс, при котором для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит от ее состояния в настоящий момент и не зависит от того, каким образом она пришла в это состояние.

В момент времени t система может находиться или в состоянии Н₀ (система работоспособна), или в состоянии Н₁ (система неработоспособна). Граф состояний и переходов показан на рис.12.

Рис.12. Граф состояний восстанавливаемой системы

Переход системы из состояния Н₀ в состояние Н₁ обозначен стрелкой с интенсивностью перехода Λ₀, а переход из состояния Н₁ в состояние Н₀ – стрелкой перехода с интенсивностью М₁. каждому состоянию Н₀ и Н₁ соответствует вероятность Р₀(t) и P₁(t) того, что система в момент времени t будет находиться в данном состоянии.

Расчет показателей надежности начинается с составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова, соответствующих графу состояний (рис.12).

Система уравнений составляется согласно правилу: производная вероятности данного состояния равна алгебраической сумме произведений интенсивностей всех возможных переходов этого состояния на вероятность состояний, из которых выходят линии перехода. Знак у слагаемого положительный, если линия перехода входит в данное состояние, и отрицательный, если линия перехода выходит из этого состояния.

Согласно этому правилу составим систему дифференциальных уравнений:

(66)

Система дифференциальных уравнений (66) называется системой уравнений Колмогорова.

Необходимо отметить, что состояния Н₀ и Н₁ в момент времени t образуют полную группу несовместных состояний. Поэтому сумма вероятностей этих состояний

Р₀(t)+P₁(t)=1, (67)

т.е. для определения показателей надежности системы (рис.12) достаточно использовать одно из уравнений системы (66) и уравнение (67).

Коэффициент готовности системы (рис.) определяем с учетом того, что при t→ ∞

.

Следовательно

.

С учетом этого из первого уравнения (66) получим

0 = - Λ₀Р₀ + М₁Р₁ (68)

а из уравнения (67)

P₁= 1 – P₀ (69)

Подставив (69) в уравнение (68) и решив его, получим формулу для определения коэффициента готовности

(70)

Проанализируйте эту формулу!!!

Результаты решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова (для произвольного момента времени) можно получить, применяя известные методы, изучаемые в соответствующих разделах высшей математики или с помощью различных инструментальных средств (MATLAB, MathCAD и т.п.).