Многоразовое наращение в течение года

Начисление процентов может осуществляться не только ежегодно, но и чаще. Так, условия банковского депозита могут включать двухразовое начисление в течение года. Например, 1 млн. руб. под 22% годовых при одноразовом начислении обеспечит следующие потоки денежных средств: FV₁- 1,22 млн. руб.; FV₂= 1,488 млн. руб.; FV₃— 1,816 млн. руб. При начислении процентов два раза в год число периодов начисления удваивается, т.е. теперь число начислений равно 2n, т.е. 6 периодам. Каждые 6 месяцев по банковскому депозиту будут начисляться 11% (i/2). Схема поступления денежных средств будет выглядеть следующим образом:

где m = 2; i/2 (процентная ставка за период) = Ежегодная процентная ставка / Число раз начислений в год; n/m — общее число начислений за рассматриваемый период. FV₃= 1 млн. х (1 + 0,1)⁶= 1,87 млн. руб.

При начислении процентов один раз в год FV₃=1,816 млн. руб. Будущая оценка при большем числе начислений процента выше, чем при одноразовом. Табл. П.1 показывает будущую оценку на конец года (FV₁) при ежегодной процентной ставке 22% и различных вариантах начисления процентов.

Таблица П. 1. Будущая оценка и доходность 1 млн. руб. при различных вариантах начисления процентов

Начисление процентов	Будущая оценка при t=22%	Фактическая доходность в абсолютном выражении, %
Один раз в год Два раза в год Ежеквартально	1 млн. х (1 + 0,22) 1 млн. х (1 + 0.22/2)² 1 млн. х (1 + 0,22/4)⁴	(1,22) - 1 = 0,22 или 22% (1 + 0.22/2)²- 1 = 0,232 или 23,2% (1 + 0,22/4)4 - 1 = 0,239 или 23,9%

В финансовых расчетах используются различные периоды начислений процентов. По банковским депозитам начисление может проводиться ежемесячно, раз в 3 месяца или в 6 месяцев. В мировой практике по большинству облигационных займов предусмотрены 6-месячные периоды начисления процентов, а по акциям — ежеквартальное начисление дивидендов. Для сравнения активов с различными периодами начисления процентов необходимо привести их к единой базе сравнения.

Наряду с термином ежегодная процентная ставка (как ставка, предполагающая начисление процентов раз в год) используется термин эффективная процентная ставка. Эффективная процентная ставка есть такая ставка, которая обеспечивает получение такой же будущей оценки денежных потоков, как при годовой процентной ставке, т.е. FV (Годовая процентная ставка i) = FV (Эффективная процентная ставка) на одном отрезке времени. Задача заключается в нахождении численного значения эффективной процентной ставки по значениям i и т (i - ежегодная ставка процента, которая фиксируется в договоре, т — число начислений в году).

В рассмотренном выше примере эффективная процентная ставка обеспечивает получение FV= 1,87 млн. руб. на конец третьего года. Эффективная процентная ставка может быть найдена из уравнения: r = (1 + i / m)^m- 1 При двухразовом начислении процентов и ставке 22% эффективная ставка составит (1 + 0,22 /2)²- 1 = 0,232 (23,2%).

При начислении процентов более одного раза в год расчет будущей оценки (FV) денежного потока можно проводить двумя способами:

1) использовать как базу расчетов не ежегодные значения, а значения по периодам: Число периодов = Число лет х Число начислений в году = пт; Процентная ставка = Ежегодная процентная ставка / Число начислений в год. Например, nm = 6, i / 2 = 11%, FV_n= PV x (1 + i / т)^nm= 1 млн. х (1 +0.11)⁶= 1,87 млн.;

2) при заданном числе лет использовать в расчетах эффективную процентную ставку FV_n= PV x (1 + Эффективная процентная ставка) = 1 млн. х (1 + 0,232)³= 1,87 млн. руб.

При ежедневном начислении процентов FV_n= PV х (1 + i / 365)³⁶⁵ⁿ. В ряде случаев проценты начисляются не дискретно (1, 2, 4 раза в год), а непрерывно.

В табл. П.2. эффективная процентная ставка приведена как функция частоты наращений.

Таблица П. 2. Эффективная процентная ставка как функция частоты наращений

Частота наращений	%	m	Вычисление	Эффективная ставка, %
Один раз в год			0,1
Два раза в год			(1 + 0,1/2)²- 1	10,25
Ежемесячно			(1 + 0,1/2)¹²- 1	10,47
Ежедневно			(1 + 0,1/2)³⁶⁵- 1	10,5156
Непрерывное				10,5171