2015-01-30
2290
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции 
найти ее производную. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию 
, зная ее производную.
Определение 1. Функция 
называется первообразной функции на интервале 
, если для любого 
выполняется равенство 
.
Теорема 1. Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для задается формулой 
, где 
– постоянное число.
Определение 2. Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом о т функции и обозначается символом 
., т.о 
.
Здесь – подынтегральная функция, 
– подынтегральное выражение, 
– переменная интегрирования,
– знак неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых 
. Графикпервообразной называется интегральной кривой (см. рисунок 1).
Всякая непрерывная на функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверяется дифференцированием.
|
|
|
1. 2 Основные свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 
.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: 
.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: 
, в частности, 
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 
, где 
– 
.
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: 
.
6. Если и 
– дифференцируемая функция, то 
,
то есть формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией, имеющей непрерывную производную.
Правила интегрирования Если 
, то 1.) 
.
2.) 
3) 
.
1.3 Таблица основных интегралов
1) 
; 2.) 
; 3). 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
; 11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
; 15) 
;
16) 
; 17) 
; 18) 
;
19) 
; 20) 
;
