Неопределенный интеграл. 1. 1 понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная ее производную.

Определение 1. Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство .

Теорема 1. Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где – постоянное число.

Определение 2. Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом о т функции и обозначается символом ., т.о .

Здесь – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, – переменная интегрирования,

– знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых . Графикпервообразной называется интегральной кривой (см. рисунок 1).

Всякая непрерывная на функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверяется дифференцированием.

1. 2 Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: , в частности, .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: , где – .

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: .

6. Если и – дифференцируемая функция, то ,

то есть формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией, имеющей непрерывную производную.

Правила интегрирования Если , то 1.) .