Закон нормального распределения (закон Гаусса)

Обычно ожидают, что распределение погрешностей характеризуется законом нормального распределения (ЗНР). Условия его появления следующие:

· погрешностей много (более 5...10);

· среди погрешностей нет доминирующих (значительно отличающихся по величине);

· погрешности “ более – менее” стабильны во времени.

Такие условия имеют место чаще всего, по этому такой закон называется «нормальным». Например, такое распределение будет иметь место для таких показателей как вес, рост, возраст группы студентов, т.к. для каждого студента эти величины разные (первое условие), среди них нет доминирующих (студентов имеющих аномальные антропометрические показатели, или возраст более тридцати лет и т.д.) – второе условие, перечисленные характеристики группы можно считать стабильными в момент исследования, хотя через какой то период они естественно изменятся.

Функция f(x) для этой модели имеет вид

(2.9)

где x — рассматриваемый параметр и его текущие значения;

m, s — параметры модели.

Функция распределения для нормальной модели может быть полученав виде

(2.10)

Указанный интеграл нельзя выразить через элементарные функции. Для его определения используют специальные таб­личные функции. В инженерной практике широко использу­ют две:

а) , (2.11)

где Ф(x) – нормальная функция распределения параметра со значениями т = 0, s = 1 (в дальнейшем — функция стандартного нормального распределения);

б), ,

где Ф₁(x) – функция Лапласа.

Связь между этими функциями такова

(2.12)

В дальнейшем будем пользоваться функцией Ф(х).

Тогда функция распределения параметра х в случае нор­мальной модели запишется как

, (2.13)

где — аргумент функции.

С учетомвыражения (2.6) вероятность вида Р(а £. х £. b) может быть определена как

(2.14)

С параметрами m и s нормальной модели связаны числовые характеристики M (x) и s(x). Для нормальной модели, и только для нее, справедливы равенства

Графики функций f(x) и F (x) приведены на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Графики функций f(x) и F(x) для нормальной модели

В случае нормальной модели может интересовать вопрос, какова вероятность вида

P(m - n×s £ x £ m + n×s), (2.15)

где n =1, 2, 3,… - целые числа.

Применяя выражение (2.15), для n = 1, 2, 3 получим значения, приведенные в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Значения вероятностей P(m-n×s £ x £ m + n×s) в зависимости от n

n
P(m-ns £ x £ m+ns)	0.68	0.95	0.9973

Из табл. 2.1. видно, что в диапазон (m-3s; m+3s) укладывается практически все рассеивание параметра (99,73% значений). Поэтому на практике, определив параметры нормальной модели, предельными значениями рассматриваемого параметра считают точки, отстоящие от величины m на ±3s (рис. 2.3). Такой способ оценки предельных отклонений параметра получил название «правила трех сигм». Этим правилом широко пользуются при установлении допусков на параметры.

Рис. 2.3. К пояснению правила «трех сигм»