Кривая оперативной характеристики

Вычисление вероятности принятия партии изделий задан­ного качества при данном плане выборочного контроля иллю­стрируется в следующем примере.

Пример 6.3. В плане выборочного контроля N = 50, n = 20 и с = 0. Рас­смотрим проблему вычисления вероятности принятия партии изделий, до­ля брака в которой составляет 4%. Количество бракованных изделий в партии равно

N(p) = (50) (0,04) = 2

Таким образом, партия принимается, когда выборка содержит нуль бра­кованных изделий при возможном наличии двух дефектных деталей в пар­тии или 20 годных из 48 годных деталей партии.

Используя гипергеометрическую функцию, вероятность принятия пар­тии, обозначаемую Р_а, можно определить следующим образом:

Для ускорения вычислений можно использовать таблицы данных, но, тем не менее, эти расчеты являются трудоемкими.

Если N относительно n велико, то вероятность принятия Р_а мало, зависит от N, т. е. при данном уровне качества, опре­деленной долей брака в партии, величина Р_а зависит главным образом от величины выборки га и показателя приемки с. При большом значении N для расчета приближенной величины Р_а можно использовать биноминальную функцию распределения. Кроме того, если р невелико, для расчета приближенной ве­личины Р_а можно использовать функцию распределения Пу­ассона. Данная процедура расчета иллюстрируется следующим примером.

Пример 6.4. План выборочного контроля: n = 30 и с = 1. Необходимо опре­делить вероятность приемки партии изделий при доле брака 4%.

Пусть d означает количество брака. Используя модель биноминально­го распределения, получаем:

Используя модель распределения Пуассона, получаем

.

Основной целью при выборе плана выборочного контроля является получение пла­на, обеспечивающего определение партий изделий, которые могут быть приняты без дальнейшей проверки, и партий, ко­торые должны быть подвергнуты 100-процентному контролю для определения брака. Эта проблема является прежде всего экономической проблемой. Основную

по­мощь при принятии решения о пла­не выборочного контроля оказывает кривая оперативной характеристики (кривая ОХ).

Построение кривой ОХ включает вычис­ления вероятностей приемки для различных значений p. Эти расчеты были показаны ранее.

План выборочного контроля должен обеспечивать выявление партий изделий, находящихся в области рентабельного уровня качества. Например, если стоимость контроля едини­цы изделия 0,15 руб. и издержки на единицу изделия, связанные с необнаруженным браком, составляют 10 руб., то рентабельный уровень качества продукции равен 0,15 руб./10 руб. или 0,015. Теоретическая идеальная кри­вая ОХ приводится на рис. 6.4. Партии изделий с уровнем качества выше, чем р = 0,015, имеют вероятность приемки, рав­ную 1,0. Партии изделий с уровнем качества ниже, чем р = 0,015, имеют вероятность приемки, равную нулю.

Любой план выборочного контроля включает возможные ошибочные решения. Таким образом, идеальной кривой ОХ не существует. Однако анализ теоретической кривой ОХ по­казывает, что план выборочного контроля с хорошим выделе­нием области безубыточного уровня качества имеет крутую кривую (см. рис. 6.5).

Улучшить распознавание плана выборочного контроля можно путем пропорционального увеличения величины вы­борки п и приемочного числа с. Увеличение n приводит к уве­личению крутизны кривой оперативной характеристики, а приемочного числа — к изменению кривой по направлению ближе или дальше от начала координат.