Понятие случайного события

И.М. Тришин

Теория вероятностей

Тема 1. Основные понятия и теоремы теории

Вероятностей

Понятие случайного события

Испытанием мы будем называть тип опыта (эксперимента).

Например, извлечение наудачу карты из колоды – испытание.

Бросание наудачу игральной кости (монеты) – испытание.

Существенно, что испытания в приведенных примерах (как и все испытания в данном курсе) выполняются наудачу, т.е. субъективный фактор здесь предполагается исключенным.

Определение. Случайным событием называется выделенный исход некоторого испытания.

Очевидно, что в конкретном испытании рассматриваемое случайное событие может наступить, а может и не наступить. (Отметим также, что сам эпитет “случайное” перед термином “событие“ в дальнейшем для краткости мы обычно будем опускать.)

Всюду ниже для обозначения событий мы будем использовать заглавные буквы латинского алфавита (возможно, с индексами). Например, , B,C,¼ или .

Пример. Пусть испытание – извлечение карты из колоды. Тогда событиями являются: A – извлечена карты красной масти, B – извлечена “ картинка“, C – извлечен туз и т.п. Если в результате конкретного испытания из колоды достали, например, семерку бубен, то событие A наступило, события B и C – нет.

Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда событиями являются, например, A – число выпавших очков – четно, B – число выпавших очков – больше 4, C– на верхней грани игральной кости выпала “5”.

Удобным обозначением для событий, относящихся к рассматриваемому испытанию (бросание игральной кости), служит перечисление всех исходов благоприятствующих наступлению события. Например, здесь ={2,4,6}, ={5,6}, ={5}.

1.2. Статистическое определение вероятности

Пусть проведено N испытаний, в которых некоторое событие A наступает раз. Тогда отношение называется частостью (долей) наступления события A в N испытаниях.

Определение. Пусть условия проведения некоторого испытания можно в точности воспроизвести неограниченное число раз. Тогда вероятностью наступления события A (в одном испытании) называется такое число, около которого группируются значения частости при неограниченном увеличении числа испытаний N.

Символически это определение можно записать в виде

Отметим практическое следствие данного определения: если нас интересует значение вероятности наступления некоторого события , то производят достаточно большое число испытаний N, по их результатам определяют значение частости и затем полагают

(Более подробно обоснование такого подхода будет рассмотрено ниже: см. Закон больших чисел, теорему Бернулли.)

Также статистическое определение вероятности имеет следующее важное

Следствие (область возможных значений вероятности события). Значение вероятности произвольного события заключено в границах от 0 до 1, т.е.

Доказательство. Очевидно, что

Выполняя почленное деление последнего неравенства на , получаем

Переходя теперь к пределу при , имеем