Тема 1. Элементы комбинаторики

Методические указания к решению задач

(домашней контрольной работы)

Методические указания в целом предполагают рекомендации по выполнению домашней работы для студентов дневного отделения и домашнего задания (контрольной работы) для студентов заочного отделения.

Домашняя (контрольная) работа предполагает решение задач по всем темам курса.

Студенты очной формы обучения выполняют домашнюю работу в соответствии с заданием преподавателя по мере изучения соответствующих тем.

Домашнее задание (контрольная работа) представляет собой письменную работу, позволяющую определить степень усвоения знаний, приобретенных студентом в ходе самостоятельной подготовки.

При выполнении задания следует строго придерживаться следующих правил:

1. Работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами синего или черного цвета, оставляя поля для замечаний.
2. На обложке тетради обязателен титульный лист, оформленный следующим образом:

Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)

Кафедра математической статистики, эконометрики и актуарных расчетов

Домашнее задание по теории вероятностей и математической статистике

Вариант №

	Выполнил: студент (ФИО)
	Группа №
	Зачетная книжка №
	Факультет
	Проверил:

1. Перед решением каждой задачи надо полностью выписывать ее условие.
2. Решать задачи необходимо по порядку. Решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и указывая правила и формулы, использованные при решении каждой задачи.
3. Все искомые величины при расчетах нужно вычислять с точностью до четырех цифр после запятой.
4. Студент должен уметь решать задачи, аналогичные задачам, входящим в его домашнее задание.
5. Вариант выбирается по последней цифре зачетной книжки. В случае если последняя цифра ноль, решается 10 вариант.
6. Домашние задания (контрольные работы), выполненные не по своему варианту не проверяются и к зачету не допускаются.

Решение домашнего задания предполагает решение 16 задач по 8 темам курса. Номера задач выбираются в соответствии с вариантом и следующей таблицей:

Вариант	Тема 1	Тема 2	Тема 3	Тема 4	Тема 5	Тема 6	Тема 7	Тема 8
Первый	1,11	1,11	1,11	1,11	1,11	1,11	1,11	1,11
Второй	2,12	2,12	2,12	2,12	2,12	2,12	2,12	2,12
Третий	3,13	3,13	3,13	3,13	3,13	3,13	3,13	3,13
Четвертый	4,14	4,14	4,14	4,14	4,14	4,14	4,14	4,14
Пятый	5,15	5,15	5,15	5,15	5,15	5,15	5,15	5,15
Шестой	6,16	6,16	6,16	6,16	6,16	6,16	6,16	6,16
Седьмой	7,17	7,17	7,17	7,17	7,17	7,17	7,17	7,17
Восьмой	8,18	8,18	8,18	8,18	8,18	8,18	8,18	8,18
Девятый	9,19	9,19	9,19	9,19	9,19	9,19	9,19	9,19
Десятый	10,20	10,20	10,20	10,20	10,20	10,20	10,20	10,20

Тема 1.ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Пример 1.1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов трех человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп состоящих из трех человек, можно составить из 10 кандидатов?

Решение. В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком, то для ответа на пункт а) необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3.

.

Ответ. Из 10 человек можно составить 720 различных групп, состоящих из трех человек.

Пример 1.2. Изменим условиепримера 1.1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов трех человек на три различные должности, Предположим, что один и тот же отобранный из 10 претендентов кандидат, может занять не только одну, но и 2, и даже все 3 различные вакантные должности. Сколько в этом случае возможно комбинаций замещения трех вакантных должностей?

Решение. Как и в предыдущей задаче комбинации замещения вакантных должностей могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком. Следовательно, и в этом случае для ответа на вопрос задачи необходимо рассчитать число размещений. Однако, на этот раз, вакантные должности могут замещаться одним и тем же претендентом, а, значит, здесь речь идет о расчете числа размещений с повторениями.

По условию задачи n = 10, m = 3.

Следовательно:

_{(с повт.)} = 10³ = 1000.

Ответ. Можно составить 1000 комбинаций замещения 3 различных вакантных должностей.

Пример 1.3. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов трех человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по три человека можно составить из 10 кандидатов?

Решение. Состав различных групп должен отличаться, по крайней мере, хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи n = 10? M = 3. Подставив данные в формулу (1.4.2), получаем

= 10!/3!7! = 120

Ответ. Можно составить 120 групп из 10 человек по 3.

Пример 1.4. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

Решение.

,

гдеm>n.

Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.

Пример 1.5. Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько существует способов его осуществления?

Решение. Способы просмотра изданий различаются только порядком, так как число, а, значит, и состав изданий при каждом способе - неизменны. Следовательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.

По условию задачи n = 6.

Следовательно:

.

Ответ. Издания можно просмотреть издания 720 способами.

Пример 1.6. Каким числом способов можно разделить m + n + s предметов на три группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой - n предметов, в третьей - s предметов?

Решение.

Ответ: