Пример 11

Проверить гипотезу о наличии гомоскедастичности, устранить ее и построить уравнений линейной регрессии.

Уравнение регрессии имеет вид . Мы видим, что с ростом x разброс значений y увеличивается. Например, при размах вариации переменной y равен , а при размах вариации переменной y равен . Поэтому можно ожидать наличие гетероскедастичности.

Проверим с помощью теста Голдфелда-Квандта гипотезу о наличии гетероскедастичности. Возьмем . Доверительная вероятность , тогда , с помощью функции FРАСПОБР(0,05;10;10) находится граничная точка . m ¾ это количество факторов модели, в нашем случае m = 1.

Теперь воспользуемся Пакетом анализа и заполним таблицу:

x	y			x	y
	75,5	¾1,15	1,32			¾7,03	49,35
	75,5	¾1,15	1,32		93,5	¾6,53	42,58
	77,5	0,85	0,72		97,5	¾2,53	6,38
	78,5	1,85	3,42			¾1,03	1,05
		3,35	11,22		102,5	2,47	6,13
		4,35	18,92			4,97	24,75
	80,5	¾3,94	15,54			¾5,82	33,83
		¾2,94	5,96		105,5	¾2,32	5,37
	84,5	0,06				¾0,82	0,67
		0,56	0,31		110,5	2,68	7,2
	85,5	1,06	1,12			7,18	51,6
	86,5	2,06	4,24		118,5	10,68	114,13
Сумма	64,11	Сумма	343,03
	85,5	¾6,73	45,34
	88,5	¾3,73	13,94
		¾2,23	4,99
		¾1,23	1,52
		2,77	7,65
		3,77	14,19

Столбец ¾ это столбец Остатки из блока Вывод остатка.

Суммы квадратов отклонений соответственно равны: , . Значения из середины таблицы при в вычислении сумм не используются.

Статистика определяется формулой . Так как 5,35 > 2,98, то на уровне значимости 5% принимается гипотеза о наличии гетероскедастичности.

Устраним гетероскедастичность. Предположим, что неизвестные дисперсии отклонений неизвестны и пропорциональны .

Уравнений линейной регрессии имеет вид . Разделим обе части этого уравнения на . Тогда получаем , откуда . Обозначим , . Получаем уравнение . Заполним таблицу:

x	y			x	y
	75,5	0,01	0,76			0,0025	0,23
	75,5	0,01	0,76		93,5	0,0025	0,23
	77,5	0,01	0,78		97,5	0,0025	0,24
	78,5	0,01	0,79			0,0025	0,25
		0,01	0,8		102,5	0,0025	0,26
		0,01	0,81			0,0025	0,26
	80,5	0,005	0,4			0,002	0,2
		0,005	0,41		105,5	0,002	0,21
	84,5	0,005	0,42			0,002	0,21
		0,005	0,43		110,5	0,002	0,22
	85,5	0,005	0,43			0,002	0,23
	86,5	0,005	0,43		118,5	0,002	0,24
	85,5	0,003	0,29
	88,5	0,003	0,3
		0,003	0,3
		0,003	0,3
		0,003	0,32
		0,003	0,32

По данным столбцов и с помощью пакета анализа находим коэффициенты и . Тогда уравнение регрессии имеет вид .