2015-01-30
2579
1º. Модуль (абсолютная величина) числа а определяется следующим образом:
.
Геометрический смысл модуля: | a | есть расстояние от точки числовой оси, изображающей данное число а, до начала отсчета - точки О, а | x-a | есть расстояние между точками числовой оси, соответствующими числам х и а.
2º. Уравнения вида 
можно решать геометрически.
Рассмотрим аналитические способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, на примерах.
При решении уравнений важно уметь в соответствии с определением модуля освободиться от вертикальных скобок.
Например, 
, если a ≥ 5;
, если a < 5.
Пример 4. Решим уравнение 
, используя определение модуля числа.
Решение: Уравнение имеет решение, если x +1≥0, т.е. x ≥-1.
.
Условие x ≥-1 выполняется в обоих случаях.
Ответ: 4; 2/3.
Пример 5. Решим уравнение 
, используя свойство модулей («модули противоположных чисел равны»).
Решение:
.
1) |2 x +1|=7 => 2 x +1=7 или 2 x +1=-7 => x =3 или x =-4
2) |2 x +1|-3=-4 => |2 x +1|=-1 – нет решений.
Ответ: 3; -4.
Пример 6. Решим уравнение 
, рассматривая решения на интервалах.
|
|
|
Решение: Найдем нули модулей, т.е. такие значения x, при которых 
и 
: 
.
Рассмотрим уравнение на интервалах (-∞; -2), [-2; -1), [-1; +∞).
а) Для 
уравнение примет вид:
-(x +1)-(x +2)=2; - x -1- x -2=2; -2 x =5; x =-2,5; => x =-2,5 – корень уравнения.
б) Для 
уравнение примет вид:
-(x +1)+(x +2)=2; - x -1+ x +2=2; 0· x =1- нет корней.
в) Для 
уравнение примет вид:
x +1+ x +2=2; 2 x =-1; x =-0,5; => x =-0,5 – корень уравнения.
Ответ: -2,5; -0,5.
