Теоретико-ігрова модель

Розділ 5. МОДЕЛЮВАННЯ І ОПТИМІЗАЦІЯ РИЗИКУ ТА ТЕОРІЯ ГРИ

Основні терміни: теорія ігор, функціонал оцінювання, інформаційна ситуація, критерій рішення.

ТЕОРЕТИКО-ІГРОВА МОДЕЛЬ

Питання оптимальності функціонування та розвитку економічних систем за умов конфліктності, невизначеності та породженим ними ризиком розглядається в багатьох працях, зокрема в [6, 8, 23, 25, 50]. Це пов'язано з різноманітністю прояву чинників невизначеності та конфліктності в реальних системах. Дослідження у цьому напрямі, як правило, ведуться шляхом виділення варіантів прояву чинника невизначеності, для котрих розробляються методи аналізу на базі математичного апарату теорії ігор та теорії прийняття рішень з урахуванням ступеня невизначеності. Як показано в [8] формальної різниш між ними немає, усе залежить від того, які змістовні міркування покладені в основу інтерпретації принципів оптимальності.

Стало загальноприйнятим розуміти під теорією ігор теорію математичних моделей та методів прийняття раціональних рішень за умов конфлікту та невизначеності.

Конфліктні ситуації характеризуються наявністю декількох суб'єктів, що взагалі мають різні цілі. Цілі не обов'язково повинні бути антагоністичними (прямо протилежними). Більше того, як показано у ряді праць, зокрема в [25], значно частіше зустрічаються реальні конфлікти, де інтереси сторін (суб'єктів) частково співпадають, і, як наслідок, вони зацікавлені у спільних чи скоординованих діях. Такі ситуації досить поширені в економіці.

Не можна забувати, що під час вибору рішення за умов невизначеності неможливо уникнути певного суб'єктивізму та елементу ризику. Для прийняття оптимальних (раціональних) рішень обмаль інформації ніколи не є перевагою, але завжди є корисним подати наявні варіанти в такій формі, щоб зробити певний суб'єктивізм вибору менш грубим, а ризик, по можливості, — прийнятним.

Предметом теорії рішень за умов ризику є дослідження законів перетворення апріорної та апостеріорної інформації про стан об'єкта та середовища в кількісні складові інформації керування, що притаманні різним суб'єктам (органам) керування та рiзним керованим економічним об'єктам (системам).

Основними поняттями (категоріями) теорії прийняття рішень є: система керування; керований об'єкт; суб'єкт керування та прийняття управлінських рішень; економічне (господарське) середовище; стан об'єкта та середовища; рішення, що приймаються; невизначеність та зумовлений нею ризик; функціонал оцінювання (матриця значень функціоналу оцінювання); ситуація прийняття рішень; інформаційна ситуація; джерело інформації; критерії прийняття рішень тощо.

У межах теорії прийняття рішень за умов ризику та невизначеності можливі різні концепції залежно від того, які поняття вважаються основними під час аналізу процесу прийняття рішень.

Широко відомою моделлю прийняття рішень за умов невизначеності є статична модель, що породжена теоретико-ігровою концепцією.

Згідно з концепцією теорії ігор визначають основні елементи теоретико-ігрових статичних моделей прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності.

Ситуация принятия решений характеризуется множенною , где Х = {х₁, х₂, …х_m} – множена решений объекта регулирования, Θ = {θ₁, θ₂, … θ_n} – множена положений экономической среды, которая может находиться в одном из положений θ_j Θ, , F = {f_kj} – функционал оценивания (матрица) вычисленный на Θ ×Х и такой, что принимает значение из простора R¹, при этом f_kj = f(x_k, θ_j).

В развёрнутой форме ситуация принятия решений характеризуется матрицею, элементами которой является f_kj – количественные оценки прийнятого решения х_k Х при условии, что среда находится в положении θ_j Θ:

θ₁… θ_j … θ_n

x₁f₁₁ … f₁_j … f₁_n

.. …. ….

F = x_k f_k₁ … f_kj … f_kn

.. …. ….

x_m f_m₁ … f_mj … f_mn.

Під інформаційною ситуацією "I" розуміють певний ступінь градації невизначеності вибору середовищем своїх станів у момент прийняття рішення.

Класифікатор інформаційних ситуацій, пов'язаних з невизначеністю середовища, можна побудувати таким чином [50]:

I₁ — перша інформаційна ситуація. Характеризується заданим розподілом апріорних імовірностей на елементах множини 0;

I₂ — друга інформаційна ситуація. Характеризується заданим розподілом імовірностей з невідомими параметрами;

I₃ — третя інформаційна ситуація. Характеризується заданою системою лінійних співвідношень на компонентах апріорного розподілу станів середовища;

I₄ — четверта інформаційна ситуація. Характеризується невідомим розподілом імовірностей на елементах множини (круг с чёрточкой);

I₅ — п'ята інформаційна ситуація. Характеризується антагоністичними інтересами середовища у процесі прийняття рішень;

I₆ — шоста інформаційна ситуація. Характеризується як проміжна між I₁ та I₅ при виборі середовищем своїх станів.

Таким чином наведені інформаційні ситуації є глобальними характеристиками рівнів невизначеності станів середовища.

Под критерием принятия решений G К понимают алгоритм, который определяет для каждой ситуации принятия решений {X, Θ, F} и информационной ситуации «I» единственное оптимальное решение (развязка) х Х, или множена таких развязок , которые называются эквивалентными относительно данного критерия.

Кожна інформаційна ситуація I може також характеризуватися сукупністю критеріїв

; , s_i S.

Для дослідження статичних моделей за умов ризику та невизначеності виходять із схеми, що передбачає наявність:

у суб'єкта керування — множини взаємовиключаючих рішень Х = {x₁, x₂, …,x_m }, одно из которых необходимо принять;

множены взаимоисключающих положений экономической среды Θ = {θ₁, θ₂, …, θ_n}, однако, субъективное регулирование неизвестно, в каком положении будет находиться среда;

у субъекта регулирования – функционал оценивания F={f_kj}, что характеризует «выигрыш» или «проигрыш» во время выбора решения х_k X, если среда находится (будет находится в положении θ_j Θ.

Творча складова прийняття рішень за умов ризику має вирішальне значення і складається з таких основних кроків:

1) формування множини рішень X та множини станів середовища Θ;

2) визначення та формалізація основних показників ефективності та корисності, що входять у функціонал оцінювання F= {f_kj};

3) визначення інформаційної ситуації, що характеризує стратегію поводження економічного середовища;

4) вибір критерію прийняття рішень з множини критеріїв, що є характерними для обраної (ідентифікованої) інформаційної ситуації;

5) прийняття оптимального рішення за обраним критерієм.

Формальна складова процесу прийняття рішень за умов ризику та невизначеності полягає у проведенні розрахунків, за існуючими алгоритмами, показників ефективності, що входять у визначення функціоналу оцінювання F= {f_kj}, та розрахунків для знаходження оптимального розв'язку х^* X (чи множини таких розв’язків Х* Х), согласно с выбранным критерием принятия рішень.

Так наприклад, для першої інформаційної ситуації найбільш важливими є такі критерії: Байєса, модальний, мінімальної дисперсії; для четвертої — Джейнса, Лапласа та iнші; для п ятої -Вальда, Севіджа та інші; для шостої — Гурвіца, Ходжеса-Лемана. та інші.

Вважають, що функціонал оцінювання F має позитивний інгредієнт, якщо намагаються досягнути

max {f_kj}, (5.1)

x_k X

Для этих случаев записывают: F = F⁺ = {f_kj⁺}.

Для негативного ингредиента, если пытаются достич:

min {f_kj}, (5.2)

x_k X

соответственно записывают: F = F^¯ = {f_kj^¯}.

Визначення функціоналу оцінювання у формі F=F⁺, як правило використовується для оптимізації категорій корисності, виграшу, ефективності, ймовірності досягнення цільових події тощо. У формі F= F^¯- використовують для оптимізації збитків, ризику тощо.