Критерії прийняття рішень при заданому розподілі ймовірностей

Як вже відзначалося, перша інформаційна ситуація I₁має місце тоді, коли мають апріорний розподіл імовірностей

Р = (р₁,..., р_j), p_j = p(θ = θ_j), =1 на элементах θ_j Θ.

Ця ситуація є, мабуть, найбільш розповсюдженою в більшості практичних задач прийняття рішень за умов ризику. При цьому ефективно використовуються конструктивні методи теорії ймовірностей та математичної статистики.

Розглянемо деякі з основних критеріїв прийняття рішень у цій ситуації.

5.3.1. КРИТЕРІЙ БАЙЄСА

Суть критерію — максимізація математичного сподівання функціоналу оцінювання. Назва критерію пов'язана з перетворенням формул апріорних імовірностей у апостеріорні. Критерій Байєса часто називають критерієм середніх (сподіваних) затрат (критерієм ризику при F = F^¯).

Согласно с критерием Байеса оптимальными развязками (або множиною таких оптимальних рішень) вважаються такі рішення, для котрих математичне сподівання функціоналу оцінювання досягає найбільшого можливого значення.

(5.7)

Якщо максимум досягається нa декількох рішеннях з X, множину яких позначимо через , то такі рішення називають еквівалентними.

Величина

називається байєсівським значенням функціоналу оцінювання для рішення x_k X. Критерій Байєса є найбільш розповсюдженим в інформаційній ситуації I₁. Цей критерій тісно пов'язаний з аксіомами теорії корисності (аксіома Неймана та Моргенштерна), де сумарна сподівана корисність визначається як математичне сподівання корисностей окремих результатів.

Якщо функціонал оцінювання задано у формі F^¯, то замість оператора max математичного сподівання використовується min математичного сподівання. Якщо функціонал оцінювання задано в ризиках, то відповідну величину В (x_k, p) називають байєсівським ризиком для розв'язку

У першій інформаційній ситуації І₁ при прийнятті рішень за умов ризику користуються апріорними ймовірностями. Інколи є можливим провести експеримент щодо досліджуваної системи, аналізуючи його результати, змінити апріорні ймовірності у відповідності з одержаною інформацією. Такі ймовірності називають апостеріорними.

Приклад. Підприємство випускає певну продукцію партіями фіксованого розміру. Через випадкові збої у виробничому процесі можливий випуск партій з неприпустимо високим відсотком бракованої продукції. Визначають стани економічного середовища: θ₁ — придатна партія виробів, θ₂ — бракована партія виробів.

Нехай браковані вироби у придатній партії складають 4%, в непридатній — 15%. Проведені на підприємстві розрахунки показують, що ймовірність виробництва бракованої партії дорівнює 0,20 і, отже, придатна для відправки споживачам партія має ймовірність 0,80. Таким чином,

Підприємство відправляє партії товарів двом споживачам А та Б. Контрактом обумовлено, що відсоток бракованих деталей, які відправляються споживачам А та Б, не повинен перевищувати 5 та 8% відповідно. За один відсоток перевищення встановлених меж передбачається штраф розміром 100 млн. крб. З іншого боку, виробництво партії товарів більш високої якості збільшує затрати підприємства на 80 млн. крб. за кожен відсоток. У задачі існують два варіанти рішень (дві альтернативи): x₁ — відправити партію товарів споживачеві А, х₂ — відправити партію товарів споживачеві Б.

Припустимо також, що підприємець (менеджер) вирішує перевірити два вироби з усієї партії. В результаті перевірки може бути встановлено, що:

1) обидва вироби придатні;

2) один з виробів придатний;

3) обидва вироби браковані. Нехай ξ₁, ξ₂, ξ₃ — позначають ці три можливі події відповідно.

Підприємець повинен прийняти рішення, кому із споживачів А чи Б відправляти певну партію виробів.

Розв'язання. Функціонал оцінювання у цій ситуації доцільно подати у вигляді матриці затрат (в млн. крб.) F = F¯ = f¯(x_k, θ_j).

Рішення х₁ припускає, що споживач А прийме партію виробiв (5% браку без штрафу). Якщо партія має 4% браку (θ₁), виробник понесе збитки (5 - 4) • 80 = 80 млн. крб. Але, якщо партія товарів буде мати 15 % браку (θ₂), то штраф складе (15 - 5) • 100 = 1 000 млн. крб. Аналогічно щодо рішення х₂, відправляючи споживачеві Б партію, яка містить 4% браку (θ₁), виробник понесе збитки (8 - 4) • 80 = 320 млн. крб. Якщо партія містить 15 % браку (θ₂), штраф складе (15 - 8) • 100 = 700 млн. крб. Отже, маємо

Зазначимо що, коли підприємець хоче обрати рішення, яке виключає збитки від штрафу (принцип гарантованого результату за критерієм Вальда), тобто безризикове рішення, то він повинен відправити партію виробів споживачеві Б. (Перевірте.)

Коли підприємець приймає рішення, користуючись (це суттєво) наявною інформацією щодо р(θ₁) та р(θ₂), то, використовуючи критерій Байєса, одержимо

тобто партію виробів доцільно відправляти споживачеві А. (Перевірте.)

Відзначимо, що рішення підприємця повинно залежати від результатів ξ₁, ξ₂ и ξ₃.

Оскільки вироби можуть обиратися як з придатної, так і з бракованої партій, то визначені умовні ймовірності р(ξ_v/θ_j). Наша мета — використати ці ймовірності разом з апріорними ймовірностями для підрахунку апостеріорних імовірностей, які позначають як р(θ_j /ξ_v). Тобто, потрібно обчислити ймовірність вибору придатної (θ₁) чи бракованої (θ₂) партії за результатами експерименту ξ_v. Ці ймовірності є важливим інструментом для прийняття рішень залежно від результатів контрольної перевірки.

Щоб показати, як апостеріорні ймовірності р(θ_j /ξ_v) знаходяться з апріорних імовірностей p(θ_j) та умовних імовірностей р(ξ_v/θ_j) розглянемо загальний випадок, коли Θ = {θ₁, …, θ_n} и ξ_v, v =

Оскільки

(5.8)

то апостериорные вероятности задаются соотношением:

(5.9)

Ці ймовірності відомі як байєсівські ймовірності.

Припустимо тепер, що у нашому прикладі браковані вироби у придатній партії складають 4%, а в непридатній — 15% Використовуючи біномінальний закон розподілу та вибірку розміром 2, можна обчислити значення умовних імовірностей множини подій Nn залежно від якості партії виробів:

р (ξ₁/ θ₁) = с₂² (0,96)² (0,04)⁰ = 0,922;

р (ξ₂/ θ₁) = с₂¹ (0,96)¹ (0,04)¹ = 0,0768;

р (ξ₃/ θ₁) = с₂⁰ (0,96)⁰ (0,04)² = 0,0016;

р (ξ₂/ θ₂) = с₂² (0,85)² (0,15)⁰ = 0,7225;

р (ξ₂/ θ₂) = с₂¹ (0,85)¹ (0,15)¹ = 0,255;

р (ξ₃/ θ₂) = с₂⁰ (0,85)⁰ (0,15)² = 0,0225;

Представимо обчислені р(ξ_v/θ_j) ймовірності:

ξ₁ ξ₂ξ₃

θ₁ 0,9220 0,0769 0,0016

θ₂ 0,7225 0,2550 0,0225

Спільно ймовірності р(θ_j, ξ_v) - р(ξ_v/θ_j) р(θ_j) можуть бути визначені з попередньої таблиці множенням першого рядка на р(θ₁)=0,80 и другого – на р(θ₂)= 0,20. Отже, маемо значення р(θ_j, ξ_v)

ξ₁ ξ₂ξ₃

θ₁ 0,73760 0,06144 0,00128

θ₂ 0,14450 0,05100 0,00450

Визначимо тепер р(ξ_v), n= за формулою (5.8).

Ці величини знаходимо підсумуванням рядків попередньої матриці:

р(ξ₁)=0,8821; р(ξ₂)=0,11244; р(ξ₃)=0,00578.

Апостеріотичні ймовірності знаходимо за формулою (5.9).

Вони обчислюються діленням відповідних елементів останньої таблиці на відповідні величини р(ξ_v), . Отже, маемо значення р(θ_j, ξ_v):

ξ₁ ξ₂ξ₃

θ₁ 0,83619 0,54642 0,22145

θ₂ 0,16381 0,45358 0,77855

Остаточне рішення залежить від результатів контрольної перевірки ξ_v, .

За критеріем Байєса загальна формула для підрахунку сподіваних затрат має вид:

(5.10)

Для нашого прикладу маємо три випадки ().

Випадок 1. Подія ξ₁ (обидва вироби придатні):

Мінімум сподіваних значень досягається при х^* = х₁. Таким чином, у цьому випадку рішення полягає у відправленні партії товарів споживачеві А, бо за крітерієм Байєса рішення х₁ гарантує меньші сподівані затрати.

Випадок 2. Подія ξ₂ (один з двох виробів є придатним):

Для нашего примера имеем три случая (v = ).

Случай 1. Действие ξ₁ (оба изделия приспособлены):

М(х₁/ξ₁) = 80 × 0,83619 + 1 000 × 0,16381 = 230,7052 млн. грн.

М(х₂/ξ₂) = 320 × 0,83619 + 700 × 0,16381 = 382,2478 млн. грн.

Минимум ожидаемых значений достигается при х* = х₁. Таким образом, в этом случае решение подлежит в отправке партии товаров потребителю А, т.к. по критерию Байеса решение х1 гарантирует меньшие ожидаемые затраты.

Случай 2. Действие ξ₂ (один из двух изделий является приспособлен):

М(х₁/ξ₁) = 80 × 0,54542 + 1 000 × 0,45358 = 497,2936 млн. грн.