Шоста інформаційна ситуація

Інформаційна ситуація I₆ визначається наявністю факторів, що характеризують два типи «проміжної» поведінки середовища.

Для першого типу характерна наявність у суб'єкта керування деякої «неясної» інформації щодо дійсних розподілів стану се­редовища. Якою б «неясною» інформація не була, суб'єкт ке­рування хоч і не може постулювати яку-небудь конкретну інфор­маційну ситуацію І_i (і = 1,5), але може встановити деякий рівень песимізму-оптимізму.

Для другого типу вважається, що суб'єкт керування має інформацію про стан середовища, яка є «проміжною» між інфор­маційними ситуаціями I₁ та I₅, тобто для цього випадку така інформаційна ситуація знаходиться між двома крайніми ситуа­ціями I₁ та I₅, що характеризується, з одного боку, повним або частковим знанням щодо розподілів імовірностей на Θ, а з другого — антагоністичною поведінкою середовища.

5.6.1. КРИТЕРІЙ ГУРВІЦА

Критерії Вальда та Севіджа песимістичні в тому розумінні, що з кожним рішенням вони поєднують стан середовища, що при­зводить до гарантованих (безризикових) наслідків для прийнятого суб'єктом керування рішення. Але можна спробувати врахувати поводження середовища, що вважається найкращим для суб'єкта керування зваженою комбінацією найкращого та найгіршого.

Такий підхід до вибору критерію прийняття рішень, відомий як критерій показника песимізму-оптимізму, був вперше запро­понований Гурвіцем. Особливістю цього критерію є те, що він передбачає не повний антагонізм середовища, а лише частковий.

Сутність критерію Гурвіца полягає в знаходженні оптималь­ного рішення x_k0 (або множини таких рішень " "), для якого виконується умова

Відзначимо, що при λ = 1 тобто критерій Гурвіца співпадає з критерієм Вальда, а при λ = 0 тобто критерій Гурвіца співпадає з максимаксним критерієм. У першому з цих випадків вважається, що середовище максимально проти­діє цілям суб'єкта керування, в другому — навпаки, середо­вище найкращим чином допомагає цілям управління. В кож­ному з цих випадків поведінка середовища дещо порівнюється з «розумним» або «зовсім бездарним» суперником. Однак, як­що вважати, що ці випадки є крайніми, то дійсна поведінка середовища буде проміжною і може характеризуватися вели­чиною λ [0,1].

Поряд з критерієм Гурвіца можна розглядати модифiкований критерій Гурвіца, за яким для кожного рішення х_k X вводиться свій показник λ [0,1], тобто замість f_1k визначається:

Можливе заперечення проти критерію Гурвіца розглянемо на прикладі, де оптимальне рішення суперечить здоровому глуздові. Розглянемо функціонал:

Згідно з критерієм Гурвіца рішення х₁ та х₂ оптимальні, тобто мають один і той самий показник. Але x₁ явно кращий за х₂. Це зауваження, очевидно, пов'язане з тим, що в критерії Гурвіца необхідно враховувати обмеження, наприклад, такого виду:

для будь-якого х_k X, досліджуваного на оптимальність за критерієм Гурвіца.

Зупинимося тепер на питанні вибору коефіцієнта "λ". При поданні критерію Гурвіца ми вважали, що орган керування вибирає якесь цілком конкретне значення λ [0,1].

Хоча чіткої методики обрання величини "λ" немає, але можна запропонувати кілька рекомендацій.

При виборі коефіцієнта "λ" суб'єктом керування можуть бути використані евристичні методи, пов'язані з його досвідом та знанням особливостей обрання середовищем своїх станів із множини Θ.

Наприклад, чим сильніші чи переконливіші докази про прийняття однієї з крайніх поведінок середовища, тим ближче буде "λ" до одиниці або нуля. Значення λ = 1/2 є рівноважною точкою проміжку λ [0,1]; для цього значення цілком природно вважати, що суб'єкт керування вважає середовище у рівній мірі як антагоністичним, так і максимально «допома­гаючим» цілям управління. Надалі можуть бути розглянуті різні системи розподілу інтервалу [0, 1] на повну систему підмножин, що не перетинаються, з наступним заданням на них імовірнісних відношень, які призводять до лінійних порядків та методів одержання оцінок "λ".

Якщо суб'єкт керування знає щільність розподілу φ(λ) пара­метра λ, λ [0,1] тоді для оцінки X можна використати середнє значення , що дорівнює

або шукати математичне сподівання "λ" (показника Гурвіца):

(5.37)

У загальному випадку оптимальне рішення за критерієм Гурвіца є функцією від "λ".

Приклад. Нехай матриця F⁺ задається у виді

Розв'язання. Знайдемо f_λk у видi (рис. 5.1):

Таким чином, за критерієм Гурвіца оптимальними можуть бути рішення х₃ та х₂, але ні за яких "λ" рішення х₁ не є оптимальним. Множина значень [0,1] параметра "λ" поділилась на дві підмножини:

х₃ або х₂, причому при λ [0,4/7] оптимальним за Гурвіцем є рішення х₃, а при λ [0,4/7, 1] є рішення х₂.

Рис. 5.1. Параметричні рішення за критерієм Гурвіца

Множину Гурвіца значень λ [0,1] рішення x_k позначимо у виді:

(5.38)

причём:

Ø, (5.39)

Кривую Гурвица будем называть ломаную Г⁺(λ) вида:

(5.40)

Крива Гурвіца Г⁺(λ) опукла по λ [0,1] і λ — показник Гурвіца може бути використаний для побудови критеріїв при­йняття рішення по максимуму мір множин Гурвіца, максимуму інтегрального значення показника Гурвіца та максимуму інте­грального потенціалу. І нарешті, крива Гурвіца, побудована за значеннями функціоналу оцінювання F^¯, вираженого в ризиках, може бути прийнята як функція третього роду. Через це для одержання точкової оцінки "λ₀" параметра " λ" може бути використаний принцип Гiббса-Джейнса:

(5.41)

где Δ^* - множена значений λ, полученная при дополнительных ограничениях.

5.6.2. КРИТЕРІЇ ХОДЖЕСА-ЛЕМАНА

Ходжес та Леман стверджують, що в практиці прийняття рішень за умов невизначеності інформація щодо стану се­редовища часто знаходиться між повним незнанням та точним знанням апріорного розподілу.

Критерій Ходжеса-Лемана дозволяє використати можливу інформацію, котру має суб'єкт керування, але в той самий час забезпечує заданий рівень гарантії у випадку, коли ця інфор­мація неточна. В деякому розумінні критерій Ходжеса-Лемана являє собою «суміш» критеріїв Байєса та Вальда.

Розглянемо ситуацію прийняття рішень , де функціонал оцінювання F поданий у формі ризику. Будемо говорити, що рішення x_k0 е обмеженим байєсівським рішенням відносно заданого апріорного розподілу і, крім цього, виконуються нерівності — задано.

Обмежене байєсівське рішення x_k може бути також визначене за умови

(5.42)

де постійна характеризує умову на .

Ці два визначення еквівалентні, тобто, якщо рішення х_k0 знаходиться іншим способом, і якщо

то х_k0 є обмеженим байєсівським рішенням за першим визначенням. Справедливим є i обернене [50].