Достаточные условия существования экстремума

Разложим R(x) в окрестности точки, подозреваемой на экстремум

x₀= col( )

X⁰ удовлетворяет необходимым условиям существования R, тогда

(3)

Из выражения (3) следует, то что, если пренебречь членами порядка малости выше 2-го знака приращения «±» определяется всеми производными 2-ого порядка, включая и смешанные. Частные производные вычисляются в т. и их можно рассматривать как константы, поэтому необязательно требовать малости :

,

обозначим

Если при любых и , кроме , Z²>0, а в точке 1 Z²=0, то Z² положительно определена и в точке экстремума будет иметь минимум >0. Для положительной определенности квадратичной формы Z² необходимо и достаточно чтобы все определители состояли из элементов и были положительны.

, тогда Х⁰ – доставляет min .