Метод неопределенных множителей Лагранжа как частный случай теоремы Куна-Таккера. Пример использования метода (проектирование опт. бочки)

Рассмотрим случай, когда в нашей задачи ограничения типа неравенств

неактивны, т.е. точка экстремума лежит внутри области на .

Это означает, что правая часть соотношения

(4)

становится равной нулю, тогда

(5);

(6), (7)

- условие Лагранжа, необходимое условие существования экстремума при наличии ограничений лишь типа равенств. Условие Лагранжа получается как необходимое условие существования безусловного экстремума функции Лагранжа, имеющей вид

(8),

где - неопределенные множители Лагранжа.

Условие (7) как необходимое условие существования экстремума (8).

Т.о. необходимое условие существования безусловного экстремума ее дифференцированием по переменным с приравниванием результата к нулю и дополнением с системой уравнений ограничений типа равенств. Из решения находим и .

Рассмотрим пример:

Необходимо определить соотношение между высотой и диаметром цилиндрического аппарата имеющего крышку и дно («бочка»), объем которой задан, но изготовление, которой идет min количество материала, т.е. поверхность минимальна.

; ;