Напряженное состояние в точке. Обобщенный закон Гука

Напряженное состояние в точке – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку. Исследуя напряженное состояние в данной точке деформируемого тела, в ее окрестности выделяют бесконечно малый (элементарный) параллелепипед, ребра которого направлены вдоль соответствующих координатных осей. При действии на тело внешних сил на каждой из граней элементарного параллелепипеда возникают напряжения, которые представляют нормальными и касательными напряжениями – проекциями полных напряжений на координатные оси. Нормальные напряжения обозначают буквой σ с индексом, соответствующим нормали к площадке, на которой они действуют. Касательные напряжения обозначают буквой τ с двумя индексами: первый соответствует нормали к площадке, а второй – направлению самого напряжения (или наоборот). Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напряжения. Запишем их в виде следующей квадратной матрицы:

Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений. Тензор напряжений полностью описывает напряженное состояние в точке, то есть если известен тензор напряжений в данной точке, то можно найти напряжения на любой из площадок, проходящих через данную точку (заметим, что тензор представляет собой особый математический объект, компоненты которого при повороте координатных осей подчиняются специфическим правилам тензорного преобразования, при этом тензорное исчисление составляет отдельный раздел высшей математики и здесь не рассматривается).